Calcul vectoriel

I. Égalité de deux vecteurs – Somme de deux vecteurs

Activité

Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan.

1. Construire les points \(E\) et \(F\) tels que \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BC}\), puis déduire la nature du quadrilatère \(EFCB\).

Propriété

• On dit que deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même norme.

• Soient \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points du plan.

• \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) signifie que le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.

• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\) signifie que le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.

• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) : relation de Chasles.

• Si \(A\) et \(B\) sont deux points confondus alors \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{BB} = \vec{0}\).

II. Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

1. Définition

Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et soit \(k\) un nombre réel non nul (\(k \neq 0\)).

Le produit du vecteur \(\vec{u}\) par \(k\) est le vecteur qu’on note \(k\vec{u}\) ou \(k \cdot \vec{u}\), qui a la même direction que \(\vec{u}\) et tel que :

• Si \(k > 0\) alors les vecteurs \(\vec{u}\) et \(k\vec{u}\) ont même sens et \(\|k\vec{u}\| = k\|\vec{u}\|\).

• Si \(k < 0\) alors les vecteurs \(\vec{u}\) et \(k\vec{u}\) ont des sens opposés et \(\|k\vec{u}\| = -k\|\vec{u}\|\).

Application 1

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On note \(I\) le milieu du segment \([AD]\), \(J\) le milieu du segment \([BC]\) et \(M\) un point du segment \([AB]\).

1. Montrer que \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{JC}\).
2. En déduire que \(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{MC}\).

2. Propriétés

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan et soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. On a :

• \(a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)

• \((a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}\)

• \(a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u}\)

• \(1 \cdot \vec{u} = \vec{u}\)

• \(k\vec{u} = \vec{0}\) signifie que \(k = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\).

Exemple

• \(5\overrightarrow{AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} = \dfrac{7}{2}\overrightarrow{AB}\)
• \(2(-3\overrightarrow{AB}) = -6\overrightarrow{AB}\)
• \(2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} = 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = 2\overrightarrow{AC}\)
• \(3\overrightarrow{AB} = \vec{0}\) signifie que \(\overrightarrow{AB} = \vec{0}\), car \(3 \neq 0\).

Application 2

1) Simplifier les expressions vectorielles suivantes :

\(\vec{A} = 3(\vec{u} + 2\vec{v}) + 2(\vec{u} - \vec{v})\)

\(\vec{B} = 12\vec{u} + 2(-3\vec{u} + \vec{v}) + 5\vec{v}\)

\(\vec{C} = \vec{u} + 5(\vec{u} + 2\vec{v}) - 3(2\vec{u} - \vec{v})\)

\(\vec{D} = 4(\vec{u} - 3\vec{v}) + 2(\vec{u} + 6\vec{v}) - 6\vec{u}\)

2) Soit \(x\) un nombre réel et soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul (\(\vec{u} \neq \vec{0}\)) tels que \(3x\vec{u} - 6\vec{u} = \vec{0}\). Déterminer la valeur de \(x\).

III. Colinéarité de deux vecteurs – Alignement de trois points

Activité

1) Simplifier les expressions vectorielles suivantes :

\(\vec{A} = 2(\vec{u} + 5\vec{v}) + 3(\vec{u} - \vec{v})\)

\(\vec{B} = 18\vec{u} + 3(-\vec{u} + 4\vec{v}) + 9\vec{v}\)

2) Déduire une relation vectorielle entre \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\).

Définition et propriété

• Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls.

On dit que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un nombre réel non nul \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\) ou \(\vec{v} = k\vec{u}\).

• Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan.

On dit que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Exemple

• Considérons un trapèze \(ABCD\) de bases \([AB]\) et \([DC]\) tel que \(AB = 4\) et \(DC = 7\). On remarque que \(\overrightarrow{AB} = \dfrac{4}{7}\overrightarrow{DC}\), ce qui entraîne que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont colinéaires.
• L’écriture \(\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\) signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Par suite les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

Remarque

Étant donné quatre points du plan \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) tels que \(A \neq B\) et \(C \neq D\), on a :

où \(k\) est un nombre réel non nul.

Application 3

Soit \(ABC\) un triangle et soient \(D\) et \(E\) deux points tels que \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BE} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\).

1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que \(\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire une relation vectorielle entre \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
4. Que peut-on dire des points \(A\), \(E\) et \(D\) ?

IV. Milieu d’un segment

1. Définition

Soit \([AB]\) un segment et soit \(I\) un point du plan.

On dit que \(I\) est le milieu du segment \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).

2. Propriétés

Propriété 1

Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\) alors \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}\).

Preuve

On a \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), donc \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).

• Par conséquent \(\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\).
• Comme \(\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB}\), on a \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0}\) ; alors \(\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{IA}\), par conséquent \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}\).

Propriété 2

Soit \(I\) le milieu du segment \([AB]\) et soit \(M\) un point du plan. On a : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).

Preuve

D’après la relation de Chasles :

car \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), donc \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).

Propriété 3

Soit \(ABC\) un triangle et soient \(I\) et \(J\) les milieux respectifs des segments \([AB]\) et \([AC]\).

On a : \(\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\), ou encore \(2\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{BC}\).

Preuve

\(I\) est le milieu de \([AB]\), donc \(\overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{IA}\). \(J\) est le milieu de \([AC]\), donc \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AJ}\). Par suite :