Ensemble des nombres entiers naturels ℕ et Notions en arithmétique

I. Ensemble des nombres entiers naturels

Activité

Parmi les nombres suivants : \(0\) ; \(8\) ; \(\sqrt{25}\) ; \(\sqrt{34}\) ; \(12{,}5\) ; \(\dfrac{12}{3}\). Préciser ceux qui sont des nombres entiers naturels.

Définition

• Les nombres entiers naturels forment un ensemble qu’on note \(\mathbb{N}\) tel que \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}\).

• Les nombres entiers naturels non nuls forment un ensemble qu’on note \(\mathbb{N}^{*}\) tel que \(\mathbb{N}^{*} = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}\).

Exemples

• \(3\) est un entier naturel, on dit que \(3\) appartient à l’ensemble \(\mathbb{N}\) et on écrit \(3 \in \mathbb{N}\).
• \(-5\) n’est pas un entier naturel, on dit que \(-5\) n’appartient pas à l’ensemble \(\mathbb{N}\) et on écrit \(-5 \notin \mathbb{N}\).
• \(4\) est un entier naturel non nul, on dit que \(4\) appartient à \(\mathbb{N}^{*}\) et on écrit \(4 \in \mathbb{N}^{*}\).

Remarque

• L’ensemble des nombres entiers naturels est infini, cela signifie que si \(n\) est un entier naturel alors son successeur \(n + 1\) est aussi un nombre entier naturel.
• Le symbole \(\in\) se lit « appartient à ».
• Le symbole \(\notin\) se lit « n’appartient pas à ».

Application 1

Compléter par \(\in\) ou \(\notin\) :

\[15 \ldots \mathbb{N} \quad ; \quad \dfrac{2\pi}{3} \ldots \mathbb{N}^{*} \quad ; \quad \sqrt{12} \ldots \mathbb{N} \quad ; \quad \dfrac{15}{3} \ldots \mathbb{N}^{*} \quad ; \quad 0 \ldots \mathbb{N}^{*}\]

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II. Divisibilité dans \(\mathbb{N}\)

1) Nombres pairs – Nombres impairs

a) Définition

Soit \(a\) un nombre entier naturel.

• On dit que \(a\) est un nombre pair s’il existe un nombre entier naturel \(k\) tel que : \(a = 2k\).

• On dit que \(a\) est un nombre impair s’il existe un nombre entier naturel \(k\) tel que : \(a = 2k + 1\).

Exemple

• On a : \(144 = 2 \times 72\), donc \(144\) est un nombre pair.
• On a : \(161 = 2 \times 80 + 1\), donc \(161\) est un nombre impair.

b) Opérations sur les nombres pairs et les nombres impairs

Propriété

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels, on a :

\(a\)	\(b\)	\(a + b\)	\(a - b\) (avec \(a > b\))	\(a \times b\)
Pair	Pair	Pair	Pair	Pair
Pair	Impair	Impair	Impair	Pair
Impair	Pair	Impair	Impair	Pair
Impair	Impair	Pair	Pair	Impair

Démonstration

Montrons que si \(a\) est pair et \(b\) est pair alors \(a + b\) est pair.

Si \(a\) est pair, alors il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a = 2k\).

Si \(b\) est pair, alors il existe un entier naturel \(k'\) tel que \(b = 2k'\).

Par suite :

\[a + b = 2k + 2k' = 2(k + k') = 2k'' \quad \text{avec } k'' \in \mathbb{N}\]

d’où \(a + b\) est un nombre pair.

Même démarche pour les autres cas.

Application 2

1. Étudier la parité des nombres suivants : \(1359 + 59321\) ; \(978^2 - 65^2\) ; \(732 \times 753\).
2. Soit \(n\) un entier naturel ; étudier la parité des nombres suivants : \(2n + 3\) ; \(4n^2 + 2n + 5\) ; \(1 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2\).

Théorème

Le produit de deux nombres entiers naturels consécutifs est toujours un nombre pair.

Démonstration

Soit \(n\) un entier naturel. Montrons que \(n(n + 1)\) est un nombre pair.

1^er cas : si \(n\) est pair alors \(n = 2k\).

Donc :

\[n(n + 1) = 2k(2k + 1) = 2\big(k(2k + 1)\big) = 2k' \quad \text{sachant que } k' \in \mathbb{N}\]

D’où \(n(n + 1)\) est pair.

2^ème cas : si \(n\) est impair alors \(n = 2k + 1\).

Donc :

\[n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 1 + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2\big[(2k + 1)(k + 1)\big] = 2k'' \quad \text{sachant que } k'' \in \mathbb{N}\]

D’où \(n(n + 1)\) est pair.

D’après les deux cas on peut conclure que \(n(n + 1)\) est un nombre pair, pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Application 3

Soit \(n\) un entier naturel. Étudier la parité des nombres suivants : \(n^2 + 3n + 2\) et \(n^2 + 7n + 13\).

2) Multiple et diviseur d’un nombre entier naturel

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels. S’il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a = k \times b\) alors :

• \(a\) s’appelle le multiple de \(b\) ;

• \(b\) s’appelle le diviseur de \(a\) ;

• \(k\) s’appelle le rapport de \(a\) par \(b\).

Exemple

\(30 = 2 \times 15\), donc :

• \(30\) est un multiple de \(15\) ;
• \(15\) est un diviseur de \(30\) ;
• \(2\) est le rapport de \(30\) par \(15\).

Remarque

• \(0\) est un multiple de tous les nombres entiers naturels.
• \(1\) est un diviseur de tous les nombres entiers naturels.

Application 4

1. Déterminer les diviseurs de \(36\) et \(82\).
2. Déterminer les multiples de \(3\) inférieurs ou égaux à \(50\).

3) Critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9

Propriété

Soit \(n\) un entier naturel. On dit que \(n\) est divisible par :

• 2 si son chiffre des unités est : 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.

• 5 si son chiffre des unités est : 0 ou 5.

• 3 ou 9 si la somme de ses chiffres forme un multiple de 3 ou 9.

• 4 si son chiffre des unités et son chiffre des dizaines forment un multiple de 4.

Exemples

• \(4725\) est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
• \(4725\) est divisible par 3 et par 9 car la somme de ses chiffres, qui est \(4 + 7 + 2 + 5 = 18\), est un multiple de 3 et de 9.
• \(1628\) est divisible par 4 car \(28\) est un multiple de 4.
• \(1628\) est divisible par 2 car son chiffre des unités est 8.

Application 5

Étudier la divisibilité de \(3611790\) par 2, 3, 4, 5 et 9.

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III. Nombres premiers

Activité

Déterminer les diviseurs de \(2\), \(3\), \(5\) et \(17\).

Que remarquez-vous ?

Définition

Un entier naturel supérieur ou égal à 2 est dit premier s’il possède deux diviseurs : 1 et lui-même.

Application 6

Parmi les nombres suivants, déterminer ceux qui sont des nombres premiers : \(37\) ; \(45\) ; \(67\) ; \(73\) ; \(87\).

Remarque

• 1 n’est pas un nombre premier car il ne possède qu’un seul diviseur.
• 2 est le seul nombre pair qui est premier.
• Pour étudier la primalité d’un nombre entier naturel \(n\), on cherche tous les nombres premiers \(p\) qui vérifient \(p \leq \sqrt{n}\). Si \(n\) est divisible par l’un de ces nombres alors \(n\) n’est pas un nombre premier, sinon \(n\) est premier.

Exemple

Le nombre \(37\) est-il premier ?

On a \(\sqrt{37} \simeq 6{,}08\) et les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt{37}\) sont \(2\), \(3\) et \(5\).

Or \(37\) n’est pas divisible par \(2\), \(3\) et \(5\) ; alors \(37\) est un nombre premier.

Application 7

Étudier la primalité des nombres suivants : \(101\) ; \(137\) ; \(1563\).

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IV. Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème

Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers.

Exemple

\(30 = 2 \times 3 \times 5\) est une décomposition de \(30\) en produit de facteurs premiers.

Application 8

Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : \(48\) ; \(612\) ; \(1530\) ; \(3240\).

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V. PGCD – PPCM

1) PGCD

a) Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels non nuls.

Le plus grand commun diviseur de \(a\) et \(b\) s’appelle le PGCD de \(a\) et \(b\) et se note \(\mathrm{PGCD}(a, b)\) ou \(a \wedge b\).

Remarque

Comme \(1\) est un diviseur de tout nombre \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{N}\), alors \(\mathrm{PGCD}(a, b) \geq 1\).

Application 9

Déterminer les diviseurs de \(36\) et \(84\) puis déduire \(\mathrm{PGCD}(36, 84)\).

Théorème

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels.

Le \(\mathrm{PGCD}(a, b)\) est le produit de facteurs premiers communs apparaissant à la fois dans la décomposition de \(a\) et \(b\) et affectés à une petite puissance.

Exemple

\(a = 132\) et \(b = 120\).

On a \(132 = 2^2 \times 3 \times 11\) et \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) ;

par conséquent :

\[\mathrm{PGCD}(132, 120) = 2^2 \times 3 = 12\]

Application 10

Déterminer \(\mathrm{PGCD}(180, 174)\) et \(\mathrm{PGCD}(156, 495)\).

b) Deux nombres entiers naturels premiers entre eux

Théorème

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels.

On dit que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement si \(\mathrm{PGCD}(a, b) = 1\).

Application

Montrer que \(37\) et \(8\) sont premiers entre eux.

2) PPCM

Définition

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels non nuls.

Le plus petit commun multiple non nul de \(a\) et \(b\) s’appelle le PPCM de \(a\) et \(b\) et se note \(\mathrm{PPCM}(a, b)\) ou \(a \vee b\).

Application 11

Déterminer \(\mathrm{PPCM}(12, 15)\).

Théorème

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres entiers naturels.

Le \(\mathrm{PPCM}(a, b)\) est le produit de facteurs premiers communs et non communs apparaissant dans la décomposition de \(a\) et \(b\) et affectés à une grande puissance.

Application 12

Décomposer \(45\) et \(120\) en produit de facteurs premiers, puis déduire \(\mathrm{PPCM}(45, 120)\).