Nombres premiers ou non ?

Rappels :

• Un entier naturel \(n \geq 2\) est premier s’il possède exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.

• Pour savoir si \(n\) est premier, on teste sa divisibilité par les nombres premiers \(p\) tels que \(p \leq \sqrt{n}\). Si aucun ne divise \(n\), alors \(n\) est premier.

• Pour montrer que \(n\) n’est pas premier, il suffit de trouver un diviseur de \(n\) différent de \(1\) et de \(n\).

1) \(101\) est un nombre premier

On a \(\sqrt{101} \simeq 10{,}05\). Les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt{101}\) sont \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\). On teste chacun d’eux :

• \(101\) n’est pas divisible par \(2\), car son chiffre des unités est \(1\) (il est impair) ;
• \(101\) n’est pas divisible par \(3\), car la somme de ses chiffres \(1 + 0 + 1 = 2\) n’est pas un multiple de \(3\) ;
• \(101\) n’est pas divisible par \(5\), car son chiffre des unités n’est ni \(0\) ni \(5\) ;
• \(101\) n’est pas divisible par \(7\), car \(101 = 7 \times 14 + 3\) (le reste est \(3\)).

Aucun de ces nombres premiers ne divise \(101\). Donc \(101\) est un nombre premier.

2) Le nombre \(2019\)

La somme des chiffres de \(2019\) est \(2 + 0 + 1 + 9 = 12\), qui est un multiple de \(3\). Donc \(2019\) est divisible par \(3\) :

\[2019 = 3 \times 673\]

Ainsi \(3\) est un diviseur de \(2019\), différent de \(1\) et de \(2019\). Donc \(2019\) n’est pas premier.

3) Le nombre \(111\,111\)

La somme des chiffres de \(111\,111\) est \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6\), qui est un multiple de \(3\). Donc \(111\,111\) est divisible par \(3\) :

\[111\,111 = 3 \times 37\,037\]

Ainsi \(3\) est un diviseur de \(111\,111\), différent de \(1\) et de \(111\,111\). Donc \(111\,111\) n’est pas premier.

4) Trois nombres qui ne sont pas premiers

• Le nombre \(1\,000\,000\,001\). On remarque que :

\[\begin{aligned} 1\,000\,000\,001 &= 10^{9} + 1 \\ &= (10^{3})^{3} + 1^{3} \end{aligned}\]

On utilise l’identité \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\), que l’on vérifie en développant :

\[\begin{aligned} &(a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) \\ &= a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b - ab^{2} + b^{3} \\ &= a^{3} + b^{3} \end{aligned}\]

Avec \(a = 10^{3} = 1000\) et \(b = 1\), on obtient :

\[\begin{aligned} &10^{9} + 1 \\ &= (1000 + 1)(1000^{2} - 1000 + 1) \\ &= 1001 \times 999\,001 \end{aligned}\]

Ainsi \(1001\) est un diviseur de \(1\,000\,000\,001\), différent de \(1\) et de \(1\,000\,000\,001\). Donc \(1\,000\,000\,001\) n’est pas premier.

Vérification : \(1001 \times 999\,001 = 999\,001\,000 + 999\,001 = 1\,000\,000\,001\).

• Le nombre \(7^{24} - 1\). Le nombre \(7\) est impair, et le produit de nombres impairs est impair. Donc \(7^{24} = 7 \times 7 \times \cdots \times 7\) est impair : il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(7^{24} = 2k + 1\). Alors :

\[7^{24} - 1 = 2k + 1 - 1 = 2k\]

Donc \(7^{24} - 1\) est pair : il est divisible par \(2\). De plus \(7^{24} - 1\) est plus grand que \(2\) (déjà \(7^{2} - 1 = 48\)). Ainsi \(2\) est un diviseur de \(7^{24} - 1\), différent de \(1\) et de \(7^{24} - 1\). Donc \(7^{24} - 1\) n’est pas premier.

Autre méthode : avec l’identité \(a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)\), on a \(7^{24} - 1 = (7^{12})^{2} - 1^{2} = (7^{12} - 1)(7^{12} + 1)\), produit de deux entiers supérieurs à \(1\).

• Le nombre \(7123^{5}\). On écrit :

\[7123^{5} = 7123 \times 7123^{4}\]

Donc \(7123\) est un diviseur de \(7123^{5}\). Or \(7123\) est différent de \(1\) et strictement plus petit que \(7123^{5}\). Le nombre \(7123^{5}\) possède donc au moins trois diviseurs : \(1\), \(7123\) et \(7123^{5}\). Donc \(7123^{5}\) n’est pas premier.

À retenir : une puissance \(a^{m}\) avec \(a \geq 2\) et \(m \geq 2\) n’est jamais un nombre premier.