Systèmes dans ℕ² avec le PGCD

Méthode : soient \(x\) et \(y\) deux entiers naturels non nuls et \(d = x \wedge y\) leur PGCD.

• \(d\) divise \(x\) et \(y\), donc il existe deux entiers naturels non nuls \(x'\) et \(y'\) tels que \(x = d\,x'\) et \(y = d\,y'\).

• De plus, \(x'\) et \(y'\) sont premiers entre eux : \(x' \wedge y' = 1\).

Justification : si un entier \(c\) divise à la fois \(x'\) et \(y'\), alors \(d \times c\) divise à la fois \(x\) et \(y\). Comme \(d\) est le plus grand diviseur commun, on a \(d \times c \leq d\), donc \(c = 1\).

1) Premier système

Étape 1 : on utilise le PGCD. Comme \(x \wedge y = 30\), il existe deux entiers naturels non nuls \(x'\) et \(y'\), premiers entre eux, tels que :

\[x = 30x' \quad \text{et} \quad y = 30y'\]

Étape 2 : on remplace dans la deuxième équation.

\[\begin{aligned} xy &= 2700 \\ 30x' \times 30y' &= 2700 \\ 900\,x'y' &= 2700 \\ x'y' &= 3 \end{aligned}\]

(on a divisé les deux membres par \(900\), car \(2700 = 900 \times 3\)).

Étape 3 : on cherche \(x'\) et \(y'\). Les seules façons d’écrire \(3\) comme produit de deux entiers naturels sont \(3 = 1 \times 3\) et \(3 = 3 \times 1\). Donc :

\((x'\,;y') = (1\,;3)\)  ou  \((x'\,;y') = (3\,;1)\)

Dans les deux cas, \(x' \wedge y' = 1\) : la condition « premiers entre eux » est bien vérifiée.

Étape 4 : on revient à \(x\) et \(y\).

• Si \((x'\,;y') = (1\,;3)\), alors \(x = 30 \times 1 = 30\) et \(y = 30 \times 3 = 90\).
• Si \((x'\,;y') = (3\,;1)\), alors \(x = 30 \times 3 = 90\) et \(y = 30 \times 1 = 30\).

Vérification : \(30 \times 90 = 2700\). De plus \(30 = 2 \times 3 \times 5\) et \(90 = 2 \times 3^{2} \times 5\), donc \(30 \wedge 90 = 2 \times 3 \times 5 = 30\).

Conclusion : l’ensemble des solutions du système est :

\[S = \{(30\,;90)\,;\ (90\,;30)\}\]

2) Deuxième système

Étape 1 : on utilise le PGCD. Comme \(x \wedge y = 5\), il existe deux entiers naturels non nuls \(x'\) et \(y'\), premiers entre eux, tels que :

\[x = 5x' \quad \text{et} \quad y = 5y'\]

Étape 2 : on remplace dans la deuxième équation.

\[\begin{aligned} x + y &= 15 \\ 5x' + 5y' &= 15 \\ 5(x' + y') &= 15 \\ x' + y' &= 3 \end{aligned}\]

(on a divisé les deux membres par \(5\)).

Étape 3 : on cherche \(x'\) et \(y'\). Les entiers \(x'\) et \(y'\) sont non nuls et leur somme vaut \(3\). Les seules possibilités sont :

\((x'\,;y') = (1\,;2)\)  ou  \((x'\,;y') = (2\,;1)\)

Dans les deux cas, \(x' \wedge y' = 1\) : la condition « premiers entre eux » est bien vérifiée.

Étape 4 : on revient à \(x\) et \(y\).

• Si \((x'\,;y') = (1\,;2)\), alors \(x = 5 \times 1 = 5\) et \(y = 5 \times 2 = 10\).
• Si \((x'\,;y') = (2\,;1)\), alors \(x = 5 \times 2 = 10\) et \(y = 5 \times 1 = 5\).

Vérification : \(5 + 10 = 15\). De plus \(10 = 2 \times 5\), donc \(5 \wedge 10 = 5\).

Conclusion : l’ensemble des solutions du système est :

\[S = \{(5\,;10)\,;\ (10\,;5)\}\]