PGCD et PPCM de 360 et 864

1) Décomposition de \(a\) et \(b\)

On effectue les divisions successives par les nombres premiers (\(360\) à gauche, \(864\) à droite) :

\[\begin{array}{r|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r|l} 864 & 2 \\ 432 & 2 \\ 216 & 2 \\ 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}\]

Pour \(a = 360\) : le facteur \(2\) apparaît trois fois, le facteur \(3\) deux fois et le facteur \(5\) une fois. Donc :

\[a = 360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\]

Pour \(b = 864\) : le facteur \(2\) apparaît cinq fois et le facteur \(3\) trois fois. Donc :

\[b = 864 = 2^{5} \times 3^{3}\]

Vérification : \(2^{3} \times 3^{2} \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360\) et \(2^{5} \times 3^{3} = 32 \times 27 = 864\).

2) Calcul de \(a \wedge b\) et de \(a \vee b\)

• Le PGCD \(a \wedge b\) est le produit des facteurs premiers communs, chacun affecté de son plus petit exposant.

Les facteurs premiers communs sont \(2\) et \(3\) (le facteur \(5\) n’apparaît que dans \(a\)) :

• pour \(2\) : les exposants sont \(3\) et \(5\), on garde \(2^{3}\) ;
• pour \(3\) : les exposants sont \(2\) et \(3\), on garde \(3^{2}\).

\[\begin{aligned} a \wedge b &= 2^{3} \times 3^{2} \\ &= 8 \times 9 \\ &= 72 \end{aligned}\]

• Le PPCM \(a \vee b\) est le produit de tous les facteurs premiers (communs et non communs), chacun affecté de son plus grand exposant.

• pour \(2\) : on garde \(2^{5}\) ;
• pour \(3\) : on garde \(3^{3}\) ;
• pour \(5\) : on garde \(5\).

\[\begin{aligned} a \vee b &= 2^{5} \times 3^{3} \times 5 \\ &= 32 \times 27 \times 5 \\ &= 864 \times 5 \\ &= 4320 \end{aligned}\]

Conclusion : \(a \wedge b = 72\) et \(a \vee b = 4320\).

Vérification : on a toujours \((a \wedge b) \times (a \vee b) = a \times b\). Ici \(72 \times 4320 = 311\,040\) et \(360 \times 864 = 311\,040\).