Multiples et PPCM de 6 et 15

Rappel : les multiples d’un entier naturel \(a\) sont les nombres de la forme \(a \times k\) avec \(k \in \mathbb{N}\), c’est-à-dire \(0\) ; \(a\) ; \(2a\) ; \(3a\) ; …

1) Multiples de \(6\) et de \(15\) inférieurs à \(50\)

• Multiples de \(6\). On calcule \(6 \times k\) pour \(k = 0, 1, 2, \ldots\) et on s’arrête quand le résultat dépasse \(50\) :

• \(6 \times 0 = 0\)
• \(6 \times 1 = 6\)
• \(6 \times 2 = 12\)
• \(6 \times 3 = 18\)
• \(6 \times 4 = 24\)
• \(6 \times 5 = 30\)
• \(6 \times 6 = 36\)
• \(6 \times 7 = 42\)
• \(6 \times 8 = 48\)
• \(6 \times 9 = 54\), qui dépasse \(50\) : on s’arrête.

Les multiples de \(6\) inférieurs à \(50\) sont :

\[0\,;\ 6\,;\ 12\,;\ 18\,;\ 24\,;\ 30\,;\ 36\,;\ 42\,;\ 48\]

• Multiples de \(15\). De la même façon :

• \(15 \times 0 = 0\)
• \(15 \times 1 = 15\)
• \(15 \times 2 = 30\)
• \(15 \times 3 = 45\)
• \(15 \times 4 = 60\), qui dépasse \(50\) : on s’arrête.

Les multiples de \(15\) inférieurs à \(50\) sont :

\[0\,;\ 15\,;\ 30\,;\ 45\]

2) Plus petit multiple commun non nul de \(6\) et \(15\)

Les multiples communs à \(6\) et \(15\) qui sont inférieurs à \(50\) sont les nombres qui figurent dans les deux listes : \(0\) et \(30\).

Le plus petit multiple commun non nul est donc \(30\) :

\[\mathrm{PPCM}(6\,;15) = 30\]

Remarque : on écarte \(0\), car \(0\) est un multiple de tous les entiers naturels.

Vérification par la décomposition en facteurs premiers : \(6 = 2 \times 3\) et \(15 = 3 \times 5\). On prend tous les facteurs premiers, communs et non communs : \(\mathrm{PPCM}(6\,;15) = 2 \times 3 \times 5 = 30\).