Diviseurs et PGCD de 30 et 70

Méthode : pour trouver tous les diviseurs d’un entier \(a\), on cherche toutes les façons d’écrire \(a\) comme produit de deux entiers naturels. Chaque produit \(a = p \times q\) donne deux diviseurs : \(p\) et \(q\). On essaie \(p = 1, 2, 3, \ldots\) et on s’arrête dès que \(p \times p\) dépasse \(a\).

1) Diviseurs de \(30\) et de \(70\)

• Diviseurs de \(30\). On s’arrête à \(p = 5\), car \(6 \times 6 = 36\) dépasse \(30\).

• \(30 = 1 \times 30\)
• \(30 = 2 \times 15\)
• \(30 = 3 \times 10\)
• \(4\) ne divise pas \(30\), car \(30 = 4 \times 7 + 2\)
• \(30 = 5 \times 6\)

Les diviseurs de \(30\) sont donc :

\[1\,;\ 2\,;\ 3\,;\ 5\,;\ 6\,;\ 10\,;\ 15\,;\ 30\]

• Diviseurs de \(70\). On s’arrête à \(p = 8\), car \(9 \times 9 = 81\) dépasse \(70\).

• \(70 = 1 \times 70\)
• \(70 = 2 \times 35\)
• \(3\) ne divise pas \(70\), car la somme des chiffres \(7 + 0 = 7\) n’est pas un multiple de \(3\)
• \(4\) ne divise pas \(70\), car \(70 = 4 \times 17 + 2\)
• \(70 = 5 \times 14\)
• \(6\) ne divise pas \(70\), car \(70 = 6 \times 11 + 4\)
• \(70 = 7 \times 10\)
• \(8\) ne divise pas \(70\), car \(70 = 8 \times 8 + 6\)

Les diviseurs de \(70\) sont donc :

\[1\,;\ 2\,;\ 5\,;\ 7\,;\ 10\,;\ 14\,;\ 35\,;\ 70\]

2) Plus grand diviseur commun de \(30\) et \(70\)

Les diviseurs communs à \(30\) et \(70\) sont les nombres qui figurent dans les deux listes :

\[1\,;\ 2\,;\ 5\,;\ 10\]

Le plus grand d’entre eux est \(10\). Donc :

\[\mathrm{PGCD}(30\,;70) = 10\]

Vérification par la décomposition en facteurs premiers : \(30 = 2 \times 3 \times 5\) et \(70 = 2 \times 5 \times 7\). Les facteurs premiers communs sont \(2\) et \(5\), donc \(\mathrm{PGCD}(30\,;70) = 2 \times 5 = 10\).