Parité de n(n+1), de n² et de n³

Méthode : un entier naturel est soit pair, soit impair. Pour démontrer une propriété vraie pour tout \(n\), on peut étudier séparément ces deux cas : c’est un raisonnement par disjonction des cas.

1) \(n(n + 1)\) est pair

1^er cas : \(n\) est pair. Il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n = 2k\). Alors :

\[\begin{aligned} n(n + 1) &= 2k(2k + 1) \\ &= 2\big[k(2k + 1)\big] \end{aligned}\]

Le nombre \(k(2k + 1)\) est un entier naturel, donc \(n(n + 1)\) est pair.

2^ème cas : \(n\) est impair. Il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n = 2k + 1\). Alors \(n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)\), et :

\[\begin{aligned} n(n + 1) &= (2k + 1) \times 2(k + 1) \\ &= 2\big[(2k + 1)(k + 1)\big] \end{aligned}\]

Le nombre \((2k + 1)(k + 1)\) est un entier naturel, donc \(n(n + 1)\) est pair.

Conclusion : dans les deux cas, \(n(n + 1)\) est pair, pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Déduction : parité de \(47^{2} + 47\). On met \(47\) en facteur :

\[\begin{aligned} 47^{2} + 47 &= 47 \times 47 + 47 \times 1 \\ &= 47(47 + 1) \end{aligned}\]

Ce nombre est de la forme \(n(n + 1)\) avec \(n = 47\). D’après ce qui précède, \(47^{2} + 47\) est pair.

Vérification : \(47^{2} + 47 = 2209 + 47 = 2256 = 2 \times 1128\).

2) Si \(n\) est pair, alors \(n^{2}\) est pair

On suppose que \(n\) est pair : il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n = 2k\). Alors :

\[\begin{aligned} n^{2} &= (2k)^{2} \\ &= 4k^{2} \\ &= 2(2k^{2}) \end{aligned}\]

On pose \(k' = 2k^{2}\). On a \(k' \in \mathbb{N}\) et \(n^{2} = 2k'\). Donc \(n^{2}\) est pair.

3) Si \(n\) est impair, alors \(n^{2}\) est impair

On suppose que \(n\) est impair : il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n = 2k + 1\). On utilise l’identité \((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\) :

\[\begin{aligned} n^{2} &= (2k + 1)^{2} \\ &= 4k^{2} + 4k + 1 \\ &= 2(2k^{2} + 2k) + 1 \end{aligned}\]

On pose \(k' = 2k^{2} + 2k\). On a \(k' \in \mathbb{N}\) et \(n^{2} = 2k' + 1\). Donc \(n^{2}\) est impair.

4) Parité de \(n^{3}\) lorsque \(n\) est pair

On suppose que \(n\) est pair. D’après la question 2), \(n^{2}\) est pair : il existe \(k' \in \mathbb{N}\) tel que \(n^{2} = 2k'\). Or \(n^{3} = n^{2} \times n\), donc :

\[\begin{aligned} n^{3} &= n^{2} \times n \\ &= 2k' \times n \\ &= 2(k'n) \end{aligned}\]

Le nombre \(k'n\) est un entier naturel. Donc, lorsque \(n\) est pair, \(n^{3}\) est pair.