Parité de nombres et d’expressions

Rappel : soit \(a\) un entier naturel.

• \(a\) est pair s’il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(a = 2k\).

• \(a\) est impair s’il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(a = 2k + 1\).

1) a) Parité de nombres donnés

On écrit chaque nombre sous la forme \(2k\) ou \(2k + 1\) :

• \(7 = 2 \times 3 + 1\), donc \(7\) est impair.
• \(136 = 2 \times 68\), donc \(136\) est pair.
• \(1372 = 2 \times 686\), donc \(1372\) est pair.
• \(6^{2} = 36 = 2 \times 18\), donc \(6^{2}\) est pair.
• \(2^{4} = 16 = 2 \times 8\), donc \(2^{4}\) est pair.
• \(3^{2} = 9 = 2 \times 4 + 1\), donc \(3^{2}\) est impair.
• \(3^{3} = 27 = 2 \times 13 + 1\), donc \(3^{3}\) est impair.
• \(6^{3} - 1 = 216 - 1 = 215 = 2 \times 107 + 1\), donc \(6^{3} - 1\) est impair.

1) b) Parité d’expressions

• Le nombre \(A\). On met \(2\) en facteur :

\[A = 6n + 2 = 2(3n + 1)\]

On pose \(k = 3n + 1\). Comme \(n \in \mathbb{N}\), on a \(k \in \mathbb{N}\) et \(A = 2k\). Donc \(A\) est pair.

• Le nombre \(B\). On fait apparaître un multiple de \(2\), plus \(1\) :

\[\begin{aligned} B &= 4n + 17 \\ &= 4n + 16 + 1 \\ &= 2(2n + 8) + 1 \end{aligned}\]

On pose \(k = 2n + 8\). On a \(k \in \mathbb{N}\) et \(B = 2k + 1\). Donc \(B\) est impair.

• Le nombre \(C\).

\[\begin{aligned} C &= 4x + 12y + 136 \\ &= 2(2x + 6y + 68) \end{aligned}\]

Comme \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels, \(k = 2x + 6y + 68\) est un entier naturel et \(C = 2k\). Donc \(C\) est pair.

• Le nombre \(D\). On écrit chacun des deux termes comme un multiple de \(2\).

Premier terme :

\[2^{2n+2} = 2 \times 2^{2n+1}\]

Deuxième terme :

\[\begin{aligned} (2n + 2)^{2} &= \big[2(n + 1)\big]^{2} \\ &= 4(n + 1)^{2} \\ &= 2 \times 2(n + 1)^{2} \end{aligned}\]

Les deux termes sont pairs. Par suite :

\[\begin{aligned} D &= 2 \times 2^{2n+1} - 2 \times 2(n + 1)^{2} \\ &= 2\big[2^{2n+1} - 2(n + 1)^{2}\big] \end{aligned}\]

\(D\) est de la forme \(2k\) : c’est la différence de deux nombres pairs. Donc \(D\) est pair.

Vérification pour \(n = 2\) : \(D = 2^{6} - 6^{2} = 64 - 36 = 28\), qui est bien pair.

• Le nombre \(E\). On étudie la parité de chacun des trois termes.

Premier terme :

\[\begin{aligned} (2n - 6)^{2} &= \big[2(n - 3)\big]^{2} \\ &= 4(n - 3)^{2} \end{aligned}\]

Deuxième terme : \(8n = 2 \times 4n\).

Troisième terme : \(n(n + 1)\) est le produit de deux entiers naturels consécutifs, donc il est pair (théorème du cours). Il existe alors \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n(n + 1) = 2k\).

Par suite :

\[\begin{aligned} E &= 4(n - 3)^{2} + 8n + 2k \\ &= 2\big[2(n - 3)^{2} + 4n + k\big] \end{aligned}\]

Le nombre \(2(n - 3)^{2} + 4n + k\) est un entier naturel. Donc \(E\) est pair (somme de trois nombres pairs).

2) a) Parité de \(a\) et de \(b\)

\[a = 6n + 2 = 2(3n + 1)\]

avec \(3n + 1 \in \mathbb{N}\). Donc \(a\) est pair.

\[\begin{aligned} b &= 4n + 3 \\ &= 4n + 2 + 1 \\ &= 2(2n + 1) + 1 \end{aligned}\]

avec \(2n + 1 \in \mathbb{N}\). Donc \(b\) est impair.

2) b) \(a + b\) est un multiple de \(5\)

\[\begin{aligned} a + b &= (6n + 2) + (4n + 3) \\ &= 10n + 5 \\ &= 5(2n + 1) \end{aligned}\]

Comme \(2n + 1 \in \mathbb{N}\), le nombre \(a + b\) s’écrit \(5 \times k\) avec \(k \in \mathbb{N}\). Donc \(a + b\) est un multiple de \(5\).

3) a) Développement

\[\begin{aligned} &(n + 2)(n + 3) \\ &= n^{2} + 3n + 2n + 6 \\ &= n^{2} + 5n + 6 \end{aligned}\]

3) b) Parité de \(n^{2} + 5n + 7\)

D’après la question précédente :

\[\begin{aligned} n^{2} + 5n + 7 &= (n^{2} + 5n + 6) + 1 \\ &= (n + 2)(n + 3) + 1 \end{aligned}\]

Or \(n + 2\) et \(n + 3\) sont deux entiers naturels consécutifs, donc leur produit est pair : il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \((n + 2)(n + 3) = 2k\).

On obtient \(n^{2} + 5n + 7 = 2k + 1\). Donc \(n^{2} + 5n + 7\) est impair.