Généralités sur les fonctions

Première année du Baccalauréat – Sciences Expérimentales

I. Fonction numérique d’une variable réelle

1. Notion de fonction numérique

Définition

Toute relation \(f\) qui associe à chaque élément \(x\) de \(\mathbb{R}\) au plus un élément \(y\) de \(\mathbb{R}\) est appelée fonction numérique de la variable réelle \(x\).

• L’élément \(y\) est appelé l’image de \(x\) par \(f\) ; on le note \(f(x)\).
• L’élément \(x\) est appelé un antécédent de \(y\) par \(f\).

On résume ce qui précède par :

\[\begin{aligned} f :\; \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\ x &\longmapsto f(x)=y \end{aligned}\]

Application 1

1. Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=x^{2}+4\). Calculer l’image de \(5\) par la fonction \(g\).
2. Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=2x-3\). Déterminer un antécédent de \(-5\) par la fonction \(f\).

Solution :

1) Image de \(5\) par la fonction \(g\).

On a \(g(x)=x^{2}+4\), donc :

\[g(5)=5^{2}+4=25+4=29\]

L’image de \(5\) par la fonction \(g\) est \(29\).

2) Antécédent de \(-5\) par la fonction \(f\).

On cherche un réel \(x\) tel que \(f(x)=-5\) (ici \(-5\) est une image). On résout l’équation :

\[f(x)=-5 \iff 2x-3=-5 \iff 2x=-5+3 \iff 2x=-2 \iff x=-1\]

Donc \(-1\) est un antécédent de \(-5\) par la fonction \(f\) (vérification : \(f(-1)=2\times(-1)-3=-5\)).

2. Ensemble de définition d’une fonction

Définition

L’ensemble de définition d’une fonction \(f\) est l’ensemble des réels \(x\) qui ont une image par \(f\) ; on le note \(D_{f}\) (ou \(D\)).

Remarque

En général, l’ensemble de définition \(D_{f}\) est un intervalle ou une réunion d’intervalles.

Exemples

• \(\mathbb{R}\) est l’ensemble de définition de toute fonction polynôme.
• \(\mathbb{R}\) est l’ensemble de définition des fonctions \(x\longmapsto\cos x\) et \(x\longmapsto\sin x\).
• \(\left[ 0\,;\,+\infty \right[\) est l’ensemble de définition de la fonction racine carrée \(x\longmapsto\sqrt{x}\).

• Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\sqrt{3-x}\) :

\[\begin{aligned} D_{f} &= \left\{x\in\mathbb{R} \;/\; 3-x\ge 0\right\} \\ &= \left\{x\in\mathbb{R} \;/\; x\le 3\right\} \\ &= \left] -\infty\,;\,3 \right] \end{aligned}\]

• Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{-2x-4}{x^{2}-4}\) :

\[\begin{aligned} D_{f} &= \left\{x\in\mathbb{R} \;/\; x^{2}-4\ne 0\right\} \\ &= \left\{x\in\mathbb{R} \;/\; x\ne -2 \text{ et } x\ne 2\right\} \\ &= \mathbb{R}-\left\{-2;2\right\} \\ &= \left] -\infty\,;\,-2 \right[\cup\left] -2\,;\,2 \right[\cup\left] 2\,;\,+\infty \right[ \end{aligned}\]

Application 2

Déterminer \(D_{f}\), l’ensemble de définition de la fonction \(f\), dans chacun des cas suivants :

1. \(f(x)=x^{3}-3x+2\)
2. \(f(x)=\dfrac{-2x-4}{8-4x}\)
3. \(f(x)=\dfrac{x+4}{x^{2}-4}\)
4. \(f(x)=\sqrt{6-2x}\)
5. \(f(x)=\sqrt{x^{2}+x+2}\)
6. \(f(x)=\sqrt{x^{2}-5x}\)
7. \(f(x)=\dfrac{2x-4}{\left|8-4x\right|-1}\)
8. \(f(x)=\dfrac{-2x-4}{\cos x-1}\)

3. Représentation graphique d’une fonction

Activité

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}\). On donne le tableau de valeurs suivant :

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)

Placer, dans un repère, les points de coordonnées \((x;f(x))\) puis relier ces points.

Solution :

On représente les données du tableau de valeurs dans un repère : en abscisse les valeurs de \(x\), en ordonnée les valeurs correspondantes de \(f(x)\).

En reliant les points, on obtient une courbe. Tout point de cette courbe a des coordonnées de la forme \((x;f(x))\).

Les images \(f(x)\) se lisent sur l’axe des ordonnées \((Oy)\).

Définition

Soit \(f\) une fonction d’ensemble de définition \(D_{f}\) et \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère du plan. La courbe représentative de \(f\), notée \((C_{f})\), est l’ensemble des points \(M(x;f(x))\) tels que \(x\in D_{f}\).

Remarque

Un point \(M(a;b)\) appartient à la courbe \((C_{f})\) si et seulement si \(a\in D_{f}\) et \(f(a)=b\).

Application 3

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}-2\). Vérifier que le point \(A(-2;2)\) appartient à la courbe \((C_{f})\) de la fonction \(f\).

Solution :

On a \(-2\in D_{f}=\mathbb{R}\) ; le point \(A(-2;2)\) appartient à \((C_{f})\) si \(f(-2)=2\). Or :

\[f(-2)=(-2)^{2}-2=4-2=2\]

Donc le point \(A(-2;2)\) appartient à la courbe \((C_{f})\).

Application 4 : lecture graphique d’une image et d’un antécédent

Soit \(f\) une fonction définie par sa courbe représentative \((C_{f})\) ci-dessous.

Déterminer graphiquement :

1. l’ensemble de définition de la fonction \(f\) ;
2. les images de \(-5\) ; \(-4\) ; \(-3\) ; \(3\) et \(4\) par la fonction \(f\) ;
3. les antécédents de \(2\) par la fonction \(f\).

Solution :

1) Ensemble de définition de \(f\).

La courbe \((C_{f})\) s’étend de l’abscisse \(-5\) à l’abscisse \(7\), donc \(D_{f}=\left[ -5\,;\,7 \right]\).

2) Images par \(f\).

On lit les ordonnées des points de \((C_{f})\) d’abscisses \(-5\) ; \(-4\) ; \(-3\) ; \(3\) et \(4\) :

\[f(-5)=2 \;;\quad f(-4)=-4 \;;\quad f(-3)=0 \;;\quad f(3)=0 \;;\quad f(4)=-2\]

3) Antécédents de \(2\) par \(f\).

La droite d’équation \(y=2\) coupe \((C_{f})\) en trois points d’abscisses \(-5\), \(-2\) et \(2\). Donc les antécédents de \(2\) par la fonction \(f\) sont \(-5\) ; \(-2\) et \(2\).

4. Parité d’une fonction

a) Fonction paire

Définition

Soit \(f\) une fonction d’ensemble de définition \(D_{f}\). On dit que \(f\) est paire si :

\[\begin{cases} (\forall x\in D_{f}) :\; -x\in D_{f} \\ (\forall x\in D_{f}) :\; f(-x)=f(x) \end{cases}\]

Propriété

Dans un repère orthonormé, la courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple

Montrer que la fonction \(f\) définie par \(f(x)=3x^{2}+1\) est paire.

On a \(D_{f}=\mathbb{R}\). Soit \(x\in\mathbb{R}\) ; on a \(-x\in\mathbb{R}\) et :

\[f(-x)=3(-x)^{2}+1=3x^{2}+1=f(x)\]

Donc la fonction \(f\) est paire.

Courbe d’une fonction paire

b) Fonction impaire

Définition

Soit \(f\) une fonction d’ensemble de définition \(D_{f}\). On dit que \(f\) est impaire si :

\[\begin{cases} (\forall x\in D_{f}) :\; -x\in D_{f} \\ (\forall x\in D_{f}) :\; f(-x)=-f(x) \end{cases}\]

Propriété

Dans un repère orthonormé, la courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine \(O\) du repère.

Exemple

Montrer que la fonction \(f\) définie par \(f(x)=3x^{3}\) est impaire.

On a \(D_{f}=\mathbb{R}\). Soit \(x\in\mathbb{R}\) ; on a \(-x\in\mathbb{R}\) et :

\[f(-x)=3(-x)^{3}=-3x^{3}=-f(x)\]

Donc la fonction \(f\) est impaire.

Courbe d’une fonction impaire

Remarque

Si \(f\) est paire ou impaire, on peut réduire son étude à \(D_{f}\cap\mathbb{R}^{+}\), puis compléter par symétrie.

Application 5

Déterminer l’ensemble de définition, puis étudier la parité de chacune des fonctions suivantes :

1) \(f(x)=x^{2}+2\)   2) \(f(x)=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}+1}\)   3) \(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-4}\)

Solution :

1) \(f(x)=x^{2}+2\)

• Ensemble de définition : \(f\) est une fonction polynôme, donc \(D_{f}=\mathbb{R}\).
• Parité : soit \(x\in\mathbb{R}\) ; on a \(-x\in\mathbb{R}\) et \(f(-x)=(-x)^{2}+2=x^{2}+2=f(x)\). Donc la fonction \(f\) est paire.

2) \(f(x)=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}+1}\)

• Ensemble de définition : \(D_{f}=\left\{x\in\mathbb{R} \;/\; x^{2}+1\ne 0\right\}\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \(x^{2}\ge 0\), donc \(x^{2}+1\ge 1\), donc \(x^{2}+1\ne 0\). Ainsi \(D_{f}=\mathbb{R}\).
• Parité : soit \(x\in\mathbb{R}\) ; on a \(-x\in\mathbb{R}\) et :

\[f(-x)=\frac{2(-x)^{2}}{(-x)^{2}+1}=\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}=f(x)\]

Donc la fonction \(f\) est paire.

3) \(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-4}\)

• Ensemble de définition : \(D_{f}=\left\{x\in\mathbb{R} \;/\; x^{2}-4\ne 0\right\}\). Or \(x^{2}-4\ne 0 \iff x^{2}\ne 4 \iff \left(x\ne 2 \text{ et } x\ne -2\right)\). Donc :

\[D_{f}=\mathbb{R}-\left\{-2;2\right\}=\left] -\infty\,;\,-2 \right[\cup\left] -2\,;\,2 \right[\cup\left] 2\,;\,+\infty \right[\]

• Parité : soit \(x\in D_{f}\) ; alors \(x\ne 2\) et \(x\ne -2\), donc \(-x\ne -2\) et \(-x\ne 2\), c’est-à-dire \(-x\in D_{f}\). De plus :

\[f(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}-4}=-\frac{x}{x^{2}-4}=-f(x)\]

Donc la fonction \(f\) est impaire.

II. Sens de variation d’une fonction

1. Fonction croissante, décroissante, constante

Définitions

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

• On dit que \(f\) est croissante sur \(I\) si : pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\), \(a>b \Rightarrow f(a)\ge f(b)\).
• On dit que \(f\) est décroissante sur \(I\) si : pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\), \(a>b \Rightarrow f(a)\le f(b)\).
• On dit que \(f\) est constante sur \(I\) si : pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\), \(f(a)=f(b)\).
• On dit que \(f\) est monotone sur \(I\) si \(f\) est croissante sur \(I\) ou décroissante sur \(I\).

Remarque

Si, dans ces définitions, les inégalités sont strictes (\(a>b \Rightarrow f(a)>f(b)\), respectivement \(a>b \Rightarrow f(a)<f(b)\)), on dit que \(f\) est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur \(I\).

Interprétation graphique

La fonction \(f\) est croissante  |  La fonction \(f\) est décroissante

Exemple

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-4x+1\). Étudions le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a>b\). On a :

\[a>b \;\Rightarrow\; -4a<-4b \;\Rightarrow\; -4a+1<-4b+1 \;\Rightarrow\; f(a)<f(b)\]

Donc la fonction \(f\) est (strictement) décroissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Taux de variation

Propriété

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Pour tous réels \(x\) et \(y\) de \(I\) tels que \(x\ne y\), on appelle taux de variation de \(f\) entre \(x\) et \(y\) le nombre :

\[T=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\]

• Si \(T>0\) pour tous \(x\ne y\) de \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\) (si \(T\ge 0\), \(f\) est croissante sur \(I\)).
• Si \(T<0\) pour tous \(x\ne y\) de \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) (si \(T\le 0\), \(f\) est décroissante sur \(I\)).
• Si \(T=0\) pour tous \(x\ne y\) de \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).

Exemple

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}\). Étudions les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x\ne y\) :

\[T=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y\]

• Si \(x\) et \(y\) appartiennent à \(\left[ 0\,;\,+\infty \right[\), alors \(T=x+y\ge 0\) : \(f\) est croissante sur \(\left[ 0\,;\,+\infty \right[\).
• Si \(x\) et \(y\) appartiennent à \(\left] -\infty\,;\,0 \right]\), alors \(T=x+y\le 0\) : \(f\) est décroissante sur \(\left] -\infty\,;\,0 \right]\).

On résume les variations de \(f\) dans un tableau appelé tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		↘		↗
			\(0\)

Application 6

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}-4x+1\).

1. Calculer le taux de variation \(T\) de \(f\) entre deux réels distincts \(x\) et \(y\).
2. Étudier le sens de variation de \(f\) sur l’intervalle \(\left[ 2\,;\,+\infty \right[\).
3. Étudier le sens de variation de \(f\) sur l’intervalle \(\left] -\infty\,;\,2 \right]\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Extremums d’une fonction

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur \(D_{f}\) et \(a\) un élément de \(D_{f}\).

• On dit que \(f(a)\) est la valeur minimale (ou le minimum) de \(f\) sur \(D_{f}\) si : pour tout \(x\in D_{f}\), \(f(x)\ge f(a)\).
• On dit que \(f(a)\) est la valeur maximale (ou le maximum) de \(f\) sur \(D_{f}\) si : pour tout \(x\in D_{f}\), \(f(x)\le f(a)\).

Le maximum et le minimum de \(f\) sont appelés les extremums de \(f\).

Interprétation graphique

Le réel \(M=f(a)\) est le maximum de \(f\)  |  Le réel \(m=f(a)\) est le minimum de \(f\)

Exemple

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-4x^{2}\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a \(x^{2}\ge 0\), donc \(f(x)=-4x^{2}\le 0\), et \(f(0)=0\).

Ainsi, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)\le f(0)\). Donc \(f(0)=0\) est la valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ; elle est atteinte en \(0\).

Application 7

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}-4x+1\). Montrer que \(-3\) est le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{4}}\). Montrer que \(g\) admet un maximum en \(1\) sur \(\mathbb{R}\).

Application 8

On considère la représentation graphique \((C_{f})\) d’une fonction \(f\) :

1. Sur quel intervalle la fonction \(f\) est-elle définie ?
2. Donner les variations de la fonction \(f\).
3. Donner les extremums de la fonction \(f\) en précisant où ils sont atteints.
4. Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.

Solution :

1) Ensemble de définition.

La fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \(\left[ -5\,;\,7 \right]\).

2) Variations.

La fonction \(f\) est croissante sur les intervalles \(\left[ -4\,;\,0 \right]\) et \(\left[ 5\,;\,7 \right]\) ; elle est décroissante sur les intervalles \(\left[ -5\,;\,-4 \right]\) et \(\left[ 0\,;\,5 \right]\).

3) Extremums.

Le maximum de \(f\) est 3,5 ; il est atteint en \(x=0\). Le minimum de \(f\) est \(-4\) ; il est atteint en \(x=-4\).

4) Tableau de variations.

\(x\)	\(-5\)		\(-4\)		\(0\)		\(5\)		\(7\)
\(f(x)\)	\(2\)	↘		↗	\(\text{3,5}\)	↘		↗	\(-1\)
			\(-4\)				\(-\text{2,5}\)

4. Monotonie et parité

Propriété

Soit \(f\) une fonction définie sur \(D_{f}=I\cup J\), où \(I\) et \(J\) sont deux intervalles symétriques par rapport à zéro (c’est-à-dire \(J=\left\{-x \;/\; x\in I\right\}\)).

• Si \(f\) est paire, alors \(f\) a des sens de variation opposés sur \(I\) et sur \(J\).
• Si \(f\) est impaire, alors \(f\) a le même sens de variation sur \(I\) et sur \(J\).

Application 9

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}-\left\{-3;3\right\}\). On donne ci-dessous son tableau de variations et sa courbe \((C_{f})\) sur \(\left[ 0\,;\,3 \right[\cup\left] 3\,;\,+\infty \right[\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-3\)		\(0\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)						↗		↗
					\(0\)

1. Compléter le tableau de variations et la courbe \((C_{f})\) sachant que \(f\) est paire.
2. Compléter le tableau de variations et la courbe \((C_{f})\) sachant que \(f\) est impaire.

5. Image d’un intervalle par une fonction

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). L’image de l’intervalle \(I\) par la fonction \(f\) est l’ensemble des images des éléments de \(I\) par \(f\) ; on la note \(f(I)\) :

\[f(I)=\left\{f(x) \;/\; x\in I\right\}\]

Application 10

Soit \(f\) une fonction dont le tableau de variations est le suivant :

\(x\)	\(-4\)		\(-3\)		\(1\)		\(5\)
\(f(x)\)	\(2\)	↘		↗	\(0\)	↘
			\(-1\)				\(-2\)

Déterminer \(f\left(\left[ -3\,;\,1 \right]\right)\), \(f\left(\left[ 1\,;\,5 \right]\right)\) et \(f\left(\left[ -4\,;\,5 \right]\right)\).

III. Comparaison de deux fonctions

1. Égalité de deux fonctions

Définition

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’ensembles de définition respectifs \(D_{f}\) et \(D_{g}\). On dit que \(f\) est égale à \(g\), et on écrit \(f=g\), si :

• \(D_{f}=D_{g}\) ;
• pour tout \(x\in D\) (où \(D=D_{f}=D_{g}\)) : \(f(x)=g(x)\).

Interprétation géométrique : si \(f=g\), alors les courbes \((C_{f})\) et \((C_{g})\) sont confondues.

Exemple

Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par \(f(x)=\sqrt{x^{2}}\) et \(g(x)=x\). On a \(D_{f}=D_{g}=\mathbb{R}\) et, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)=\sqrt{x^{2}}=\left|x\right|\).

Les fonctions \(f\) et \(g\) ne sont pas égales ; il suffit de prendre \(x=-1\) :

\[f(-1)=\sqrt{(-1)^{2}}=\sqrt{1}=1 \quad\text{mais}\quad g(-1)=-1\]

Donc \(f(-1)\ne g(-1)\), d’où \(f\ne g\).

2. Comparaison de deux fonctions – interprétation géométrique

Activité

Figure 1  |  Figure 2

• Figure 1 : la courbe est située au-dessus de l’axe des abscisses sur \(\left[ -8\,;\,11 \right]\) ; on dit que la fonction est positive sur \(\left[ -8\,;\,11 \right]\).
• Figure 2 : la courbe est située au-dessous de l’axe des abscisses sur \(\left[ -8\,;\,11 \right]\) ; on dit que la fonction est négative sur \(\left[ -8\,;\,11 \right]\).
• Figure 3 : sur \(\left[ -1\,;\,+\infty \right[\), la courbe \((C_{f})\) est au-dessous de la courbe \((C_{g})\) ; on dit que \(f\) est inférieure à \(g\) sur \(\left[ -1\,;\,+\infty \right[\) et on écrit \(f\le g\).
• Sur \(\left] -\infty\,;\,-1 \right]\), la courbe \((C_{f})\) est au-dessus de la courbe \((C_{g})\) ; on dit que \(f\) est supérieure à \(g\) sur \(\left] -\infty\,;\,-1 \right]\) et on écrit \(f\ge g\).

Figure 3

Définitions

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un même ensemble \(D\).

• \(f\) est positive sur \(D\) si : pour tout \(x\in D\), \(f(x)\ge 0\).

Interprétation géométrique : \((C_{f})\) est au-dessus de l’axe \((Ox)\) sur \(D\).

• \(f\) est négative sur \(D\) si : pour tout \(x\in D\), \(f(x)\le 0\).

Interprétation géométrique : \((C_{f})\) est au-dessous de l’axe \((Ox)\) sur \(D\).

• \(f\) est supérieure à \(g\) sur \(D\) (on écrit \(f\ge g\)) si : pour tout \(x\in D\), \(f(x)\ge g(x)\).

Interprétation géométrique : \((C_{f})\) est au-dessus de \((C_{g})\) sur \(D\).

• \(f\) est inférieure à \(g\) sur \(D\) (on écrit \(f\le g\)) si : pour tout \(x\in D\), \(f(x)\le g(x)\).

Interprétation géométrique : \((C_{f})\) est au-dessous de \((C_{g})\) sur \(D\).

Remarque : positions relatives de deux courbes

Étudier la position relative des courbes \((C_{f})\) et \((C_{g})\) sur \(D\) revient à étudier le signe de la différence \(f(x)-g(x)\) pour \(x\in D\) :

• si \(f(x)-g(x)\ge 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f(x)\ge g(x)\) : \((C_{f})\) est au-dessus de \((C_{g})\) sur \(I\) ;
• si \(f(x)-g(x)\le 0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f(x)\le g(x)\) : \((C_{f})\) est au-dessous de \((C_{g})\) sur \(I\).

3. Résolution graphique d’équations et d’inéquations

Propriété

• Les solutions de l’équation \(f(x)=k\) sont les abscisses des points d’intersection de \((C_{f})\) avec la droite d’équation \(y=k\).
• Les solutions de l’équation \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des points d’intersection des courbes \((C_{f})\) et \((C_{g})\).
• Les solutions de l’inéquation \(f(x)<g(x)\) (respectivement \(f(x)\ge g(x)\)) sont les abscisses des points de \((C_{f})\) situés strictement au-dessous de \((C_{g})\) (respectivement au-dessus de \((C_{g})\) ou sur \((C_{g})\)).

Application 11

\(f\) et \(g\) sont deux fonctions définies sur \(\left] 0\,;\,+\infty \right[\) ; leurs courbes \((C_{f})\) et \((C_{g})\) sont représentées ci-contre.

1. Déterminer \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(4)\), \(g(1)\) et \(g(5)\).
2. Dresser le tableau de variations de \(f\) et celui de \(g\).
3. Résoudre graphiquement les équations : \(f(x)=0\) ; \(f(x)=3\) et \(g(x)=f(x)\).
4. Résoudre graphiquement les inéquations : \(f(x)<3\) ; \(f(x)<g(x)\) et \(f(x)\ge g(x)\).

Solution :

1) Lecture d’images.

\[f(1)=3 \;;\quad f(2)=0 \;;\quad f(4)=3 \;;\quad g(1)=5 \;;\quad g(5)=1\]

2) Tableaux de variations.

On voit que \(f\) est décroissante sur \(\left] 0\,;\,2 \right]\) et croissante sur \(\left[ 2\,;\,+\infty \right[\), et que \(g\) est décroissante sur \(\left] 0\,;\,+\infty \right[\).

\(x\)	\(0\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		↘		↗
			\(0\)

\(x\)	\(0\)		\(+\infty\)
\(g(x)\)		↘

3) Résolution graphique des équations.

• \(f(x)=0\) : la courbe \((C_{f})\) coupe la droite d’équation \(y=0\) en un seul point, d’abscisse \(2\). Donc \(S=\left\{2\right\}\).
• \(f(x)=3\) : la courbe \((C_{f})\) coupe la droite d’équation \(y=3\) en deux points, d’abscisses \(1\) et \(4\). Donc \(S=\left\{1;4\right\}\).
• \(g(x)=f(x)\) : les courbes \((C_{f})\) et \((C_{g})\) se coupent en un seul point, d’abscisse \(3\). Donc \(S=\left\{3\right\}\).

4) Résolution graphique des inéquations.

• \(f(x)<3\) : la courbe \((C_{f})\) est strictement au-dessous de la droite d’équation \(y=3\) sur \(\left] 1\,;\,4 \right[\). Donc \(S=\left] 1\,;\,4 \right[\).
• \(f(x)<g(x)\) : la courbe \((C_{f})\) est strictement au-dessous de \((C_{g})\) sur \(\left] 0\,;\,3 \right[\). Donc \(S=\left] 0\,;\,3 \right[\).
• \(f(x)\ge g(x)\) : la courbe \((C_{f})\) est au-dessus de \((C_{g})\) ou la coupe sur \(\left[ 3\,;\,+\infty \right[\). Donc \(S=\left[ 3\,;\,+\infty \right[\).

IV. Étude de fonctions usuelles

1. La fonction \(x\longmapsto ax^{2}+bx+c\) \((a\ne 0)\)

Activité

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=ax^{2}+bx+c\), avec \(a\in\mathbb{R}^{*}\) et \(b,c\in\mathbb{R}\).

1. Calculer le taux de variation \(T\) de \(f\) entre deux réels distincts \(x\) et \(y\).
2. Déterminer le sens de variation de \(f\) sur l’intervalle \(\left[ -\dfrac{b}{2a}\,;\,+\infty \right[\) selon le signe de \(a\).
3. Déterminer le sens de variation de \(f\) sur l’intervalle \(\left] -\infty\,;\,-\dfrac{b}{2a} \right]\) selon le signe de \(a\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\) dans chaque cas (cas 1 : \(a>0\) ; cas 2 : \(a<0\)).

Propriété

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) avec \(a\ne 0\).

• Si \(a>0\) : \(f\) est décroissante sur \(\left] -\infty\,;\,-\dfrac{b}{2a} \right]\) et croissante sur \(\left[ -\dfrac{b}{2a}\,;\,+\infty \right[\).
• Si \(a<0\) : \(f\) est croissante sur \(\left] -\infty\,;\,-\dfrac{b}{2a} \right]\) et décroissante sur \(\left[ -\dfrac{b}{2a}\,;\,+\infty \right[\).

Tableaux de variations

Si \(a>0\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{b}{2a}\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		↘		↗
			\(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\)

Si \(a<0\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{b}{2a}\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		↗	\(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\)	↘

Nature de la courbe

Dans un repère orthonormé, la courbe \((C_{f})\) est une parabole de sommet \(\Omega\left(-\dfrac{b}{2a};f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\) et d’axe de symétrie la droite d’équation \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

Cas \(a>0\)  |  Cas \(a<0\)

Remarque : forme canonique

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a :

\[f(x)=ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\]

On pose \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}=-\dfrac{\Delta}{4a}=f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\), où \(\Delta=b^{2}-4ac\). On obtient la forme canonique :

\[f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta\]

• \((C_{f})\) est une parabole de sommet \(\Omega(\alpha;\beta)\) et d’axe de symétrie la droite d’équation \(x=\alpha\) ;
• \((C_{f})\) est l’image de la courbe de la fonction \(x\longmapsto ax^{2}\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(\alpha;\beta)\).

Application 12

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}-4x+3\).

1. Dresser le tableau de variations de \(f\).
2. Déterminer la nature de la courbe \((C_{f})\).
3. Déterminer les points d’intersection de \((C_{f})\) avec les axes du repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
4. Tracer la courbe \((C_{f})\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).

Solution :

1) Tableau de variations.

On a \(D_{f}=\mathbb{R}\), avec \(a=1\), \(b=-4\) et \(c=3\). Donc :

\[-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times 1}=2 \quad\text{et}\quad f(2)=2^{2}-4\times 2+3=-1\]

Comme \(a=1>0\), on obtient le tableau de variations suivant :

\(x\)	\(-\infty\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		↘		↗
			\(-1\)

2) Nature de \((C_{f})\).

\((C_{f})\) est une parabole de sommet \(\Omega(2;-1)\) et d’axe de symétrie la droite d’équation \(x=2\).

3) Points d’intersection de \((C_{f})\) avec les axes.

Rappel :

• les points d’intersection de \((C_{f})\) avec l’axe des abscisses \((Ox)\) sont les points dont les abscisses sont les solutions de l’équation \(f(x)=0\) ;
• le point d’intersection de \((C_{f})\) avec l’axe des ordonnées \((Oy)\) est le point de coordonnées \((0;f(0))\).

• Avec \((Ox)\) : \(f(x)=0 \iff x^{2}-4x+3=0\). Le discriminant est \(\Delta=(-4)^{2}-4\times 1\times 3=4>0\), donc l’équation admet deux solutions :

\[x_{1}=\frac{4-\sqrt{4}}{2\times 1}=1 \quad\text{et}\quad x_{2}=\frac{4+\sqrt{4}}{2\times 1}=3\]

Les points d’intersection de \((C_{f})\) avec \((Ox)\) sont donc \(A(1;0)\) et \(B(3;0)\).

• Avec \((Oy)\) : \(f(0)=3\), donc \((C_{f})\) coupe \((Oy)\) au point \(C(0;3)\).

4) Courbe \((C_{f})\).

2. La fonction homographique \(x\longmapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) \((c\ne 0)\)

Activité

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), avec \(a,b,d\in\mathbb{R}\) et \(c\in\mathbb{R}^{*}\).

1. Déterminer \(D_{f}\).
2. Soient \(x\) et \(y\) deux réels de \(D_{f}\) tels que \(x\ne y\). Montrer que :

\[T=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=\frac{ad-bc}{(cx+d)(cy+d)}\]

\[\text{On pose : }\;\Delta=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc\]

3. Déterminer le sens de variation de \(f\) sur l’intervalle \(\left] -\dfrac{d}{c}\,;\,+\infty \right[\) selon le signe de \(\Delta\).
4. Déterminer le sens de variation de \(f\) sur l’intervalle \(\left] -\infty\,;\,-\dfrac{d}{c} \right[\) selon le signe de \(\Delta\).
5. Dresser le tableau de variations de \(f\) dans chaque cas (cas 1 : \(\Delta>0\) ; cas 2 : \(\Delta<0\)).

Propriété

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) avec \(c\ne 0\). On a \(D_{f}=\left] -\infty\,;\,-\dfrac{d}{c} \right[\cup\left] -\dfrac{d}{c}\,;\,+\infty \right[\) et on pose :

\[\Delta=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc\]

• Si \(\Delta>0\) : \(f\) est strictement croissante sur chacun des intervalles \(\left] -\infty\,;\,-\dfrac{d}{c} \right[\) et \(\left] -\dfrac{d}{c}\,;\,+\infty \right[\).
• Si \(\Delta<0\) : \(f\) est strictement décroissante sur chacun des intervalles \(\left] -\infty\,;\,-\dfrac{d}{c} \right[\) et \(\left] -\dfrac{d}{c}\,;\,+\infty \right[\).
• Si \(\Delta=0\) : \(f\) est constante sur \(D_{f}\).

Tableaux de variations

Si \(\Delta>0\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{d}{c}\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		↗		↗

Si \(\Delta<0\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{d}{c}\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		↘		↘

Nature de la courbe

Dans un repère orthonormé, si \(\Delta\ne 0\), la courbe \((C_{f})\) est une hyperbole de centre \(\Omega\left(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\right)\) et d’asymptotes les droites \((D)\) et \((D')\) d’équations respectives \(x=-\dfrac{d}{c}\) et \(y=\dfrac{a}{c}\).

Cas \(\Delta<0\)  |  Cas \(\Delta>0\)

Remarque

Pour tout \(x\in D_{f}\), on peut écrire :

\[f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\beta+\frac{k}{x-\alpha}\quad\text{avec}\quad\alpha=-\frac{d}{c},\;\beta=\frac{a}{c}\;\text{ et }\;k=-\frac{\Delta}{c^{2}}\]

• \((C_{f})\) est une hyperbole de centre \(\Omega(\alpha;\beta)\) et d’asymptotes les droites d’équations \(x=\alpha\) et \(y=\beta\) ;
• \((C_{f})\) est l’image de la courbe de la fonction \(x\longmapsto\dfrac{k}{x}\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(\alpha;\beta)\).

Application 13

Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\).

1. Déterminer \(D_{g}\).
2. Dresser le tableau de variations de \(g\).
3. Déterminer la nature de la courbe \((C_{g})\).
4. Déterminer les points d’intersection de \((C_{g})\) avec les axes du repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
5. Tracer la courbe \((C_{g})\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).

Solution :

1) Ensemble de définition.

\[\begin{aligned} D_{g} &= \left\{x\in\mathbb{R} \;/\; x+1\ne 0\right\} \\ &= \left\{x\in\mathbb{R} \;/\; x\ne -1\right\} \\ &= \mathbb{R}-\left\{-1\right\} \\ &= \left] -\infty\,;\,-1 \right[\cup\left] -1\,;\,+\infty \right[ \end{aligned}\]

2) Tableau de variations.

On a \(a=1\), \(b=2\), \(c=1\) et \(d=1\), donc :

\[\Delta=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1\times 1-2\times 1=-1<0\]

Donc \(g\) est strictement décroissante sur chacun des intervalles \(\left] -\infty\,;\,-1 \right[\) et \(\left] -1\,;\,+\infty \right[\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(+\infty\)
\(g(x)\)		↘		↘

3) Nature de \((C_{g})\).

\((C_{g})\) est une hyperbole de centre \(\Omega\left(-\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}\right)\), c’est-à-dire \(\Omega(-1;1)\), et d’asymptotes les droites d’équations \(x=-1\) et \(y=1\).

4) Points d’intersection de \((C_{g})\) avec les axes.

• Avec \((Ox)\) : \(g(x)=0 \iff \dfrac{x+2}{x+1}=0 \iff x+2=0 \iff x=-2\) (et \(-2\in D_{g}\)). Donc \((C_{g})\) coupe \((Ox)\) au point \(A(-2;0)\).
• Avec \((Oy)\) : \(g(0)=\dfrac{0+2}{0+1}=2\), donc \((C_{g})\) coupe \((Oy)\) au point \(B(0;2)\).

5) Courbe \((C_{g})\).

3. La fonction \(x\longmapsto ax^{3}\) \((a\ne 0)\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=ax^{3}\), avec \(a\in\mathbb{R}^{*}\) ; on a \(D_{f}=\mathbb{R}\).

Activité

1. Déterminer le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) selon le signe de \(a\).
2. On considère les fonctions \(f:x\longmapsto x^{3}\) et \(g:x\longmapsto -x^{3}\).
   1. Dresser le tableau de variations de \(f\) et celui de \(g\).
   2. Tracer les courbes \((C_{f})\) et \((C_{g})\).

Propriété

• Si \(a>0\), la fonction \(x\longmapsto ax^{3}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(a<0\), la fonction \(x\longmapsto ax^{3}\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Représentation graphique

Cas \(a>0\)  |  Cas \(a<0\)

4. La fonction \(x\longmapsto\sqrt{x+a}\)

Soit \(a\) un réel et \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\sqrt{x+a}\).

Activité

1. Déterminer \(D_{f}\).
2. Déterminer le sens de variation de \(f\) sur \(D_{f}\).
3. On considère les fonctions \(f:x\longmapsto\sqrt{x+3}\) et \(g:x\longmapsto\sqrt{x-4}\).
   1. Déterminer \(D_{f}\) et \(D_{g}\).
   2. Dresser le tableau de variations de \(f\) et celui de \(g\).
   3. Tracer les courbes \((C_{f})\) et \((C_{g})\).

Propriété

• \(D_{f}=\left[ -a\,;\,+\infty \right[\) et \(f\) est strictement croissante sur \(\left[ -a\,;\,+\infty \right[\).
• La courbe \((C_{f})\) est l’image de la courbe de la fonction \(x\longmapsto\sqrt{x}\) par la translation de vecteur \(-a\vec{i}\).

Exemple

Pour \(a=2\) : \(f(x)=\sqrt{x+2}\) et \(D_{f}=\left[ -2\,;\,+\infty \right[\).

La courbe de \(f\) s’obtient à partir de celle de \(x\longmapsto\sqrt{x}\) par la translation de vecteur \(-2\vec{i}\) (glissement de deux unités vers la gauche).

V. Fonction majorée, minorée, bornée – Composée de deux fonctions

1. Fonction majorée, minorée, bornée

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

• On dit que \(f\) est majorée sur \(I\) par le réel \(M\) si : pour tout \(x\in I\), \(f(x)\le M\).
• On dit que \(f\) est minorée sur \(I\) par le réel \(m\) si : pour tout \(x\in I\), \(f(x)\ge m\).
• On dit que \(f\) est bornée sur \(I\) si elle est à la fois majorée et minorée sur \(I\), c’est-à-dire :

\[\left(\exists(m;M)\in\mathbb{R}^{2}\right)\left(\forall x\in I\right) :\; m\le f(x)\le M\]

Interprétation graphique

\(f\) est majorée par \(M\)  |  \(f\) est minorée par \(m\)  |  \(f\) est bornée par \(m\) et \(M\)

Application 14

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{*}\) par \(f(x)=1-\dfrac{1}{x}\). Montrer que \(f\) est majorée par \(1\) sur l’intervalle \(\left] 0\,;\,+\infty \right[\).
2. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=-2+\dfrac{1}{x^{2}+1}\). Montrer que \(g\) est minorée par \(-2\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=2\sin x+\cos x\). Montrer que la fonction \(h\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).

2. Composée de deux fonctions

Activité

On considère les deux fonctions :

\[\begin{aligned} f :\; \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\ x &\longmapsto x+5 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} g :\; \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R} \\ x &\longmapsto x^{2} \end{aligned}\]

1. Calculer \(g\left(f(2)\right)\) et \(f\left(g(2)\right)\).
2. Déterminer \(g\left(f(x)\right)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

Définition

Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) tels que \(f(I)\subset J\). La composée de \(f\) par \(g\), notée \(g\circ f\), est la fonction définie sur \(I\) par :

\[(\forall x\in I) :\quad (g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)\]

\(g\circ f :\)	\(I\)	\(\overset{f}{\longrightarrow}\)	\(f(I)\subset J\)	\(\overset{g}{\longrightarrow}\)	\(\mathbb{R}\)
	\(x\)	\(\longmapsto\)	\(f(x)\)	\(\longmapsto\)	\(g\left(f(x)\right)=(g\circ f)(x)\)

Remarques

• L’ensemble de définition de \(g\circ f\) est :

\[D_{g\circ f}=\left\{x\in\mathbb{R} \;/\; x\in D_{f}\text{ et }f(x)\in D_{g}\right\}\]

• En général, \(g\circ f\ne f\circ g\).

Application 15

Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par :

\[f(x)=x^{2}+1 \quad\text{et}\quad g(x)=\frac{3x}{x-1}\]

1. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions \(f\), \(g\), \(g\circ f\) et \(f\circ g\).
2. Déterminer l’expression de \((g\circ f)(x)\) pour tout \(x\in D_{g\circ f}\) et celle de \((f\circ g)(x)\) pour tout \(x\in D_{f\circ g}\).

3. Monotonie de la composée de deux fonctions

Propriété

Soient \(f\) une fonction monotone sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction monotone sur un intervalle \(J\) tel que \(f(I)\subset J\).

• Si \(f\) et \(g\) ont le même sens de variation (respectivement sur \(I\) et sur \(J\)), alors \(g\circ f\) est croissante sur \(I\).
• Si \(f\) et \(g\) ont des sens de variation contraires (respectivement sur \(I\) et sur \(J\)), alors \(g\circ f\) est décroissante sur \(I\).

Application 16

Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par :

\[f(x)=x^{2}-x \quad\text{et}\quad g(x)=\sqrt{x+2}\]

1. Déterminer \(D_{g}\) et \(D_{g\circ f}\).
2. Déterminer le sens de variation de \(f\) et celui de \(g\).
3. On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=\sqrt{x^{2}-x+2}\). Déterminer les variations de \(h\) sur \(\mathbb{R}\) en utilisant les variations de \(f\) et de \(g\).

Application 17

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[f(x)=\frac{\sqrt{x}-3}{3\sqrt{x}+2}\]

1. Déterminer \(D_{f}\), l’ensemble de définition de \(f\).
2. Montrer que, pour tout \(x\in\left[ 0\,;\,+\infty \right[\) : \(-\dfrac{3}{2}\le f(x)\le\dfrac{1}{3}\).
3. Déterminer deux fonctions \(u\) et \(v\) telles que, pour tout \(x\in\left[ 0\,;\,+\infty \right[\) : \(f(x)=(v\circ u)(x)\).
4. Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur \(D_{f}\).

VI. Fonction périodique

Définition

Soit \(f\) une fonction d’ensemble de définition \(D\) et \(T\) un réel strictement positif. On dit que \(f\) est périodique de période \(T\) si :

\[\begin{cases} (\forall x\in D) :\; x+T\in D\text{ et }x-T\in D \\ (\forall x\in D) :\; f(x+T)=f(x) \end{cases}\]

Application 18

1. Montrer que si \(f\) est périodique de période \(T\) sur \(D\), alors : \((\forall x\in D)(\forall n\in\mathbb{N}) :\; f(x+nT)=f(x)\).
2. En déduire que si \(f\) est périodique de période \(T\) sur \(D\), alors : \((\forall x\in D)(\forall n\in\mathbb{Z}) :\; f(x+nT)=f(x)\).

Remarques

• Si \(f\) est périodique de période \(T\), on peut réduire l’étude de \(f\) à un intervalle d’amplitude \(T\) contenu dans \(D\).
• Si \(f\) est périodique de période \(T\), on peut tracer la courbe de \(f\) sur un intervalle \(\left[ x_{0}\,;\,x_{0}+T \right]\), puis obtenir toute la courbe à l’aide des translations de vecteurs \(nT\vec{i}\), avec \(n\in\mathbb{Z}\).

Exemple : fonction périodique de période \(T=2\)

Application 19

La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et périodique de période \(T=5\). Sa courbe est tracée ci-dessous sur l’intervalle \(\left[ -2\,;\,3 \right]\). Compléter la courbe de \(f\) sur l’intervalle \(\left[ -7\,;\,9 \right]\).