Exercice 4
MoyenSérie n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Exercice 4 · Implication
Soit \(x\in\mathbb{R}\). On considère la proposition :
\[(P) :\ \left(x^2=4x\right) \Rightarrow \left(x=0 \text{ ou } x=4\right).\]
- Montrer que la proposition \((P)\) est vraie.
- Déterminer l’implication contraposée de \((P)\).
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Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Correction de l’exercice 4 · Implication
Rappel : implication et contraposée
Pour montrer que \(P\Rightarrow Q\) est vraie, on suppose que \(P\) est vraie et on montre que \(Q\) est vraie.
La contraposée de \(P\Rightarrow Q\) est \(\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}\) ; elles ont la même valeur de vérité.
1) Supposons que \(x^2=4x\). Alors :
\[\begin{aligned} x^2=4x &\Rightarrow x^2-4x=0 \\ &\Rightarrow x(x-4)=0 \\ &\Rightarrow x=0 \text{ ou } x-4=0 \\ &\Rightarrow x=0 \text{ ou } x=4. \end{aligned}\]
Donc la proposition \((P)\) est vraie.
2) La contraposée de \((P)\) est :
\[\left(x\ne 0 \text{ et } x\ne 4\right) \Rightarrow \left(x^2\ne 4x\right).\]