Exercice 3
MoyenSérie n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Exercice 3 · Contre-exemple
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=x^2-3x+2\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(f(x)=0\).
- Donner la négation de la proposition : \((P) :\ \left(\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2\right) : f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\).
- En déduire que \((P)\) est fausse.
- Calculer \(f(1)\) et \(f(-1)\), puis en déduire que la fonction \(f\) n’est ni paire ni impaire.
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Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Correction de l’exercice 3 · Contre-exemple
1) \(f(x)=0 \iff x^2-3x+2=0\).
\(\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=1>0\), donc
\[x_1=\frac{3-\sqrt{1}}{2}=1 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{3+\sqrt{1}}{2}=2.\]
D’où \(S=\{1\,;2\}\).
2) \((\overline{P}) :\ \left(\exists (a,b)\in\mathbb{R}^2\right) : f(a)=f(b) \text{ et } a\ne b\).
3) D’après la question 1), \(f(1)=f(2)=0\) avec \(1\ne 2\).
Donc \((\overline{P})\) est vraie, d’où \((P)\) est fausse.
Rappel : fonction paire, fonction impaire
- \(f\) est paire si, pour tout \(x\in D_f\) : \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=f(x)\).
- \(f\) est impaire si, pour tout \(x\in D_f\) : \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=-f(x)\).
4) \(f(1)=1-3+2=0\) et \(f(-1)=1+3+2=6\).
- \(f(-1)\ne f(1)\), donc \(f\) n’est pas paire.
- \(f(-1)\ne -f(1)\) (car \(6\ne 0\)), donc \(f\) n’est pas impaire.
Conclusion : \(f\) n’est ni paire ni impaire.