Exercice 1

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 1 · Quantificateurs

Rappel : quantificateurs et négation

• « Pour tout » (ou « quel que soit ») se note \(\forall\). La proposition \((\forall x\in E) : p(x)\) est vraie lorsque \(p(x)\) est vraie pour tout \(x\in E\).
• « Il existe au moins un » se note \(\exists\). La proposition \((\exists x\in E) : p(x)\) est vraie lorsqu’il existe au moins un \(x\in E\) tel que \(p(x)\) soit vraie.
• « Il existe un unique » se note \(\exists!\). La proposition \((\exists! x\in E) : p(x)\) est vraie lorsqu’il existe un seul \(x\in E\) tel que \(p(x)\) soit vraie.
• Négations : \(\overline{(\forall x\in E) : p(x)}\) est \((\exists x\in E) : \overline{p(x)}\) ; \(\overline{(\exists x\in E) : p(x)}\) est \((\forall x\in E) : \overline{p(x)}\).

Rappel : signe du trinôme \(ax^2+bx+c\) \((a\ne 0)\)

On pose \(\Delta=b^2-4ac\).

• Si \(\Delta>0\), le trinôme admet deux racines distinctes \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\), que l’on note \(x_1<x_2\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(x_1\)		\(x_2\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		signe de \(a\)	\(0\)	signe de \(-a\)	\(0\)	signe de \(a\)

• Si \(\Delta=0\), le trinôme admet une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(x_0\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		signe de \(a\)	\(0\)	signe de \(a\)

• Si \(\Delta<0\), le trinôme n’a pas de racine réelle et \(f(x)\) a le signe de \(a\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

1) \(P_1 :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : 3x+6=0\).

On résout l’équation :

\[3x+6=0 \iff 3x=-6 \iff x=-2.\]

Le réel \(-2\) vérifie \(3\times(-2)+6=0\), donc \(P_1\) est vraie.
Négation : \(\overline{P_1} :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : 3x+6\ne 0\).

2) \(P_2 :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : x^2-3x+2=0\).

On a \(a=1\), \(b=-3\) et \(c=2\), donc

\[\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=9-8=1>0.\]

L’équation admet donc deux solutions :

\[x_1=\frac{3-\sqrt{1}}{2}=1 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{3+\sqrt{1}}{2}=2.\]

Par exemple \(x=1\) convient, donc \(P_2\) est vraie.
Négation : \(\overline{P_2} :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : x^2-3x+2\ne 0\).

3) \(P_3 :\ (\forall x\in[1\,;6]) : x^2-7x+6\le 0\).

On a \(a=1\), \(b=-7\) et \(c=6\), donc

\[\Delta=(-7)^2-4\times1\times6=49-24=25>0.\]

Les racines du trinôme sont :

\[x_1=\frac{7-\sqrt{25}}{2}=1 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{7+\sqrt{25}}{2}=6.\]

Donc pour tout \(x\in[1\,;6]\), on a \(x^2-7x+6\le 0\) : \(P_3\) est vraie.
Négation : \(\overline{P_3} :\ (\exists x\in[1\,;6]) : x^2-7x+6>0\).

4) \(P_4 :\ (\forall x\in\mathbb{R}) : x^2-2x+3>0\).

On a \(a=1\), \(b=-2\) et \(c=3\), donc

\[\Delta=(-2)^2-4\times1\times3=4-12=-8<0.\]

Le trinôme n’a pas de racine : il a le signe de \(a=1>0\) sur \(\mathbb{R}\). Donc \((\forall x\in\mathbb{R}) : x^2-2x+3>0\), et \(P_4\) est vraie.

Remarque : on peut aussi écrire \(x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0\).

Négation : \(\overline{P_4} :\ (\exists x\in\mathbb{R}) : x^2-2x+3\le 0\).