Exercice 12
MoyenSérie n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Exercice 12 · Récurrence
- Développer le produit \((n+2)(2n+3)\).
- Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \(1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
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Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Correction de l’exercice 12 · Récurrence
1) On développe :
\[\begin{aligned} (n+2)(2n+3) &= 2n^2+3n+4n+6 \\ &= 2n^2+7n+6. \end{aligned}\]
2) Initialisation : pour \(n=1\), \(1^2=1\) et \(\dfrac{1\times2\times3}{6}=1\).
Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Supposons que
\[1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
et montrons que
\[1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.\]
On a :
\[\begin{aligned} 1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \\ &= \frac{(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]}{6} \\ &= \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \\ &= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \quad \text{(d’après 1))}. \end{aligned}\]
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\),
\[1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]