Exercice 9

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 9 · Raisonnement par l’absurde

Rappel : raisonnement par l’absurde

Pour montrer qu’une proposition \(P\) est vraie, on suppose que \(\overline{P}\) est vraie et on montre que cela conduit à une contradiction (une proposition fausse). On conclut alors que \(P\) est vraie.

1) Supposons qu’il existe \(x\in\mathbb{R}-\left\{\dfrac23\right\}\) tel que

\[\frac{4x+1}{3x-2}=\frac43.\]

Alors (produit en croix, avec \(3x-2\ne 0\)) :

\[\begin{aligned} 3(4x+1)=4(3x-2) &\Rightarrow 12x+3=12x-8 \\ &\Rightarrow 3=-8, \end{aligned}\]

ce qui est absurde. Donc :

\[\left(\forall x\in\mathbb{R}-\left\{\frac23\right\}\right) : \frac{4x+1}{3x-2}\ne\frac43.\]

2) Supposons qu’il existe \(n\in\mathbb{N}\) et \(k\in\mathbb{N}\) tels que

\[\frac{6n+5}{4n+2}=k.\]

Alors :

\[\begin{aligned} 6n+5=k(4n+2) &\Rightarrow 6n+4+1=k(4n+2) \\ &\Rightarrow 2(3n+2)+1=2k(2n+1). \end{aligned}\]

Le membre de gauche est impair et celui de droite est pair : contradiction. Donc :

\[(\forall n\in\mathbb{N}) : \frac{6n+5}{4n+2}\notin\mathbb{N}.\]

3) Supposons qu’il existe \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(x-\sqrt{x^2+1}\ge 0\), c’est-à-dire

\[x\ge\sqrt{x^2+1}.\]

Comme \(\sqrt{x^2+1}>0\), on a \(x>0\) ; les deux membres étant positifs, on peut élever au carré :

\[x^2\ge x^2+1, \quad\text{d’où}\quad 0\ge 1,\]

ce qui est absurde. Donc :

\[(\forall x\in\mathbb{R}) : x-\sqrt{x^2+1}<0.\]