Exercice 8

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 8 · Contraposée

Rappel : raisonnement par contraposée

Pour montrer que \(P\Rightarrow Q\) est vraie, il suffit de montrer que sa contraposée \(\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}\) est vraie : on suppose que \(\overline{Q}\) est vraie et on montre que \(\overline{P}\) est vraie.

1) a) Soit \(y\in\mathbb{R}\). Par contraposée, montrons que :

\[\left(2y^2-8=0\right)\Rightarrow\left(y=2 \text{ ou } y=-2\right).\]

On a :

\[\begin{aligned} 2y^2-8=0 &\Rightarrow y^2=4 \\ &\Rightarrow y=2 \text{ ou } y=-2. \end{aligned}\]

D’où \(\left(y\ne 2 \text{ et } y\ne -2\right)\Rightarrow\left(2y^2-8\ne 0\right)\).

b) Soit \(x\in\mathbb{R}^+\). Par contraposée, montrons que :

\[\left(\sqrt{x+1}=1+\frac{x}{2}\right)\Rightarrow\left(x=0\right).\]

On a :

\[\begin{aligned} \sqrt{x+1}=1+\frac{x}{2} &\Rightarrow 2\sqrt{x+1}=2+x \\ &\Rightarrow 4(x+1)=(2+x)^2 \\ &\Rightarrow 4x+4=4+4x+x^2 \\ &\Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0. \end{aligned}\]

D’où \(\left(x\ne 0\right)\Rightarrow\left(\sqrt{x+1}\ne 1+\dfrac{x}{2}\right)\).

2) Soit \(n\in\mathbb{N}\). Par contraposée, montrons que si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair.

Si \(n\) est impair, \(n=2k+1\) avec \(k\in\mathbb{N}\), donc

\[n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\]

est impair. D’où : si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.

3) Soient \(x,y\in\left]2\,;+\infty\right[\). Par contraposée, montrons que :

\[\left(x^2-4x=y^2-4y\right)\Rightarrow\left(x=y\right).\]

On a :

\[\begin{aligned} x^2-4x=y^2-4y &\Rightarrow x^2-4x+4=y^2-4y+4 \\ &\Rightarrow (x-2)^2-(y-2)^2=0 \\ &\Rightarrow (x-2+y-2)(x-2-y+2)=0 \\ &\Rightarrow (x+y-4)(x-y)=0. \end{aligned}\]

Or \(x>2\) et \(y>2\), donc \(x+y-4>0\), en particulier \(x+y-4\ne 0\).
Donc \(x-y=0\), c’est-à-dire \(x=y\).
D’où \(\left(x\ne y\right)\Rightarrow\left(x^2-4x\ne y^2-4y\right)\).