Exercice 7

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 7 · Disjonction des cas

Rappel : disjonction des cas

Pour montrer qu’une propriété est vraie pour tout élément d’un ensemble \(E\), on peut partager \(E\) en plusieurs cas qui recouvrent \(E\), puis démontrer la propriété dans chacun des cas.

1) Soit \(n\in\mathbb{N}\).

► Cas 1 : \(n\) est pair, \(n=2k\) avec \(k\in\mathbb{N}\).

\(n^2+n+1=4k^2+2k+1=2(2k^2+k)+1\), donc \(n^2+n+1\) est impair.

► Cas 2 : \(n\) est impair, \(n=2k+1\) avec \(k\in\mathbb{N}\).

\[\begin{aligned} n^2+n+1 &= (2k+1)^2+(2k+1)+1 \\ &= 4k^2+6k+3=2(2k^2+3k+1)+1, \end{aligned}\]

donc \(n^2+n+1\) est impair.

Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\), l’entier \(n^2+n+1\) est impair.

2) Le reste de la division euclidienne de \(n\) par \(3\) vaut \(0\), \(1\) ou \(2\) ; d’où trois cas (\(k\in\mathbb{N}\)).

► Cas 1 : \(n=3k\).

\(n(n+1)(n+2)=3k(3k+1)(3k+2)\) est un multiple de \(3\).

► Cas 2 : \(n=3k+1\).

\[\begin{aligned} n(n+1)(n+2) &= (3k+1)(3k+2)(3k+3) \\ &= 3(3k+1)(3k+2)(k+1), \end{aligned}\]

c’est un multiple de \(3\).

► Cas 3 : \(n=3k+2\).

\[\begin{aligned} n(n+1)(n+2) &= (3k+2)(3k+3)(3k+4) \\ &= 3(3k+2)(k+1)(3k+4), \end{aligned}\]

c’est un multiple de \(3\).

Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n(n+1)(n+2)\) est un multiple de \(3\).

3) Soit \(x\in\mathbb{R}\).

► Cas 1 : \(x<0\).

On a \(-x>0\) et \(\sqrt{x^2+1}>0\), donc \(\sqrt{x^2+1}-x=\sqrt{x^2+1}+(-x)>0\).

► Cas 2 : \(x\ge 0\).

On a \(x^2+1>x^2\), donc \(\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|=x\) (car \(x\ge 0\)). D’où \(\sqrt{x^2+1}-x>0\).

Autre méthode (cas 2), avec l’expression conjuguée :

\[\begin{aligned} \sqrt{x^2+1}-x &= \frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}>0. \end{aligned}\]

Conclusion : \((\forall x\in\mathbb{R}) : \sqrt{x^2+1}-x>0\).

4) Équation \((E_1) :\ x^2-|x-1|-1=0\).

On a \(|x-1|=x-1\) si \(x\ge 1\), et \(|x-1|=-(x-1)\) si \(x<1\).

► Cas 1 : \(x\in\left[1\,;+\infty\right[\), donc \(|x-1|=x-1\).

\[\begin{aligned} (E_1) &\iff x^2-(x-1)-1=0 \iff x^2-x=0 \\ &\iff x(x-1)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=1. \end{aligned}\]

Or \(0\notin\left[1\,;+\infty\right[\), donc \(S_1=\{1\}\).

► Cas 2 : \(x\in\left]-\infty\,;1\right[\), donc \(|x-1|=-(x-1)\).

\[(E_1) \iff x^2+(x-1)-1=0 \iff x^2+x-2=0.\]

\(\Delta=1^2-4\times1\times(-2)=9>0\), d’où

\[x_1=\frac{-1-3}{2}=-2 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1.\]

Or \(1\notin\left]-\infty\,;1\right[\), donc \(S_2=\{-2\}\).

Conclusion : \(S=S_1\cup S_2=\{-2\,;1\}\).

Équation \((E_2) :\ |x+1|-3|x-2|+1=0\).

On a \(|x+1|=x+1\) si \(x\ge -1\), et \(|x+1|=-(x+1)\) si \(x<-1\) ;
\(|x-2|=x-2\) si \(x\ge 2\), et \(|x-2|=-(x-2)\) si \(x<2\).

► Cas 1 : \(x\in\left[2\,;+\infty\right[\).

\[\begin{aligned} (E_2) &\iff (x+1)-3(x-2)+1=0 \\ &\iff -2x+8=0 \iff x=4. \end{aligned}\]

Or \(4\in\left[2\,;+\infty\right[\), donc \(S_1=\{4\}\).

► Cas 2 : \(x\in\left[-1\,;2\right[\).

\[\begin{aligned} (E_2) &\iff (x+1)-3(-x+2)+1=0 \\ &\iff 4x-4=0 \iff x=1. \end{aligned}\]

Or \(1\in\left[-1\,;2\right[\), donc \(S_2=\{1\}\).

► Cas 3 : \(x\in\left]-\infty\,;-1\right[\).

\[\begin{aligned} (E_2) &\iff -(x+1)-3(-x+2)+1=0 \\ &\iff 2x-6=0 \iff x=3. \end{aligned}\]

Or \(3\notin\left]-\infty\,;-1\right[\), donc \(S_3=\varnothing\).

Conclusion : \(S=S_1\cup S_2\cup S_3=\{1\,;4\}\).