Exercice 6

Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT

Correction de l’exercice 6 · Équivalence

Rappel : équivalence

Pour montrer que \(P\iff Q\), on montre que \(P\Rightarrow Q\) et \(Q\Rightarrow P\), ou bien on raisonne par équivalences successives.

1) Soit \(x\in\mathbb{R}\). Comme \(x^2+1>0\), on peut multiplier par \(2(x^2+1)>0\) :

\[\begin{aligned} \frac{x^2+x+1}{x^2+1}\le\frac32 &\iff 2(x^2+x+1)\le 3(x^2+1) \\ &\iff 2x^2+2x+2-3x^2-3\le 0 \\ &\iff -x^2+2x-1\le 0 \\ &\iff -(x-1)^2\le 0, \end{aligned}\]

ce qui est vrai. Donc \(\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\le\dfrac32\).

Autre méthode : on étudie le signe de la différence :

\[\frac{x^2+x+1}{x^2+1}-\frac32=\frac{-(x-1)^2}{2(x^2+1)}\le 0.\]

2) Soient \(x,y\ge 0\). Les deux membres \(\sqrt{x+y}\) et \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\) sont positifs, donc ils sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux :

\[\begin{aligned} \sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y} &\iff x+y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2 \\ &\iff x+y=x+2\sqrt{x}\sqrt{y}+y \\ &\iff 2\sqrt{x}\sqrt{y}=0 \\ &\iff \sqrt{x}=0 \text{ ou } \sqrt{y}=0 \\ &\iff x=0 \text{ ou } y=0. \end{aligned}\]

3) Soient \(a,b\ge 0\).

• Si \(a=0\) et \(b=0\), alors \(a+b=0\).
• Réciproquement, supposons \(a+b=0\). Alors \(a=-b\) ; or \(b\ge 0\), donc \(-b\le 0\), d’où \(a\le 0\). Comme \(a\ge 0\), on obtient \(a=0\), puis \(b=-a=0\).

Donc \(\left(a+b=0\right)\iff\left(a=0 \text{ et } b=0\right)\).

4) Soient \(x,y\ge 0\) ; on a alors \(x=\left(\sqrt{x}\right)^2\) et \(y=\left(\sqrt{y}\right)^2\).

\[\begin{aligned} x+y+13=4\sqrt{x}+6\sqrt{y} &\iff x-4\sqrt{x}+4+y-6\sqrt{y}+9=0 \\ &\iff \left(\sqrt{x}-2\right)^2+\left(\sqrt{y}-3\right)^2=0. \end{aligned}\]

Ces deux carrés sont positifs, donc d’après la question 3) :

\[\begin{aligned} &\iff \left(\sqrt{x}-2\right)^2=0 \text{ et } \left(\sqrt{y}-3\right)^2=0 \\ &\iff \sqrt{x}=2 \text{ et } \sqrt{y}=3 \\ &\iff x=4 \text{ et } y=9. \end{aligned}\]