Exercice 5
MoyenSérie n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Exercice 5 · Raisonnement déductif
- Soient \(x\in\mathbb{R}\) et \(y\in\mathbb{R}\). Montrer que : \(\left(x^2+y^2=2xy\right)\Rightarrow\left(x=y\right)\).
- Soient \(x\in\mathbb{R}\) et \(y\in\mathbb{R}\). Montrer que : \(\left(1+xy-x-y=0\right)\Rightarrow\left(x=1 \text{ ou } y=1\right)\).
- Montrer que si \(m\) et \(n\) sont deux entiers naturels impairs, alors \(m+n\) est pair.
Afficher la correctionMasquer la correction
Série n° 1 – Notions de logique · 1ère Bac Sc. Exp. (BIOF) · Prof : Yassine NACHIT
Correction de l’exercice 5 · Raisonnement déductif
Rappel : raisonnement déductif (direct)
Pour montrer que \(P\Rightarrow Q\) est vraie, on suppose que \(P\) est vraie et on montre que \(Q\) est vraie.
Pour tout \(X\in\mathbb{R}\) : si \(X^2=0\), alors \(X=0\).
1) Soient \(x,y\in\mathbb{R}\) tels que \(x^2+y^2=2xy\). Alors :
\[\begin{aligned} x^2+y^2=2xy &\Rightarrow x^2-2xy+y^2=0 \\ &\Rightarrow (x-y)^2=0 \\ &\Rightarrow x-y=0 \\ &\Rightarrow x=y. \end{aligned}\]
2) Soient \(x,y\in\mathbb{R}\) tels que \(1+xy-x-y=0\). Alors :
\[\begin{aligned} 1+xy-x-y=0 &\Rightarrow x(y-1)-(y-1)=0 \\ &\Rightarrow (y-1)(x-1)=0 \\ &\Rightarrow y-1=0 \text{ ou } x-1=0 \\ &\Rightarrow x=1 \text{ ou } y=1. \end{aligned}\]
3) \(m\) et \(n\) sont impairs, donc il existe deux entiers naturels \(k\) et \(k'\) tels que \(m=2k+1\) et \(n=2k'+1\). Alors :
\[m+n=2k+2k'+2=2(k+k'+1),\]
avec \(k+k'+1\in\mathbb{N}\). Donc \(m+n\) est pair.